POJ 1679 The Unique MST

题意就是求一个MST，然后求一个次小生成树(可能与MST相等)，然后问我们这个次小生成树是否与MST的总权重相等。

朴素的想法是求出一个MST后把它上面的每个边删一次(一次就够，因为次小生成树如果存在必然与MST有n-1条公共边)，删后再求一次MST，然而求 n-1 次 MST明显不实际。

我们转换一下思路，不是删掉边加边而是替换边，假设加的边是 G[i][j] (没用过的)那么被替换的边一定是MST上 i -> j 的路径中最大的边(否则得到一定不是次小生成树)，如此只要在求一次MST的基础上多加O(n^2)。

为了达到这个目的我们需要用prim在求MST的同时处理处path[i][j]。具体参见代码。

if(vis[j]&&u!=j)//path[u][j] means the longest edges of the path from u to j
                path[j][u]=path[u][j]=max(path[j][pre[u]],dist[u]);

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <utility>

using namespace std;
#define fst first
#define scd second
#define pb(x) push_back((x))
#define mkp(x,y) make_pair((x),(y)) 
#define ist(x) insert((x))
typedef long long ll;
typedef pair<int ,int > pii;
typedef pair<ll ,ll > pll;
typedef vector< int > vi;
ll gcd(ll a,ll b){ return b==0?a:gcd(b,a%b);}
ll qPow(ll a,ll b,ll mod){ ll ret=1ll;while(b){ if(b&1) ret=ret*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;} return ret; }

const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,m;// number of V and E
int G[128][128];
bool vis[128],used[128][128];
int path[128][128],dist[128];
int pre[128];

int prim(int v){// v is start
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    memset(used,false,sizeof(used));//
    memset(path,0,sizeof(path));//
    for(int i=1;i<=n;++i){
        dist[i]=G[v][i];
        pre[i]=v;
    }
    vis[v]=true;
    
    int sum=0;
    int u,tmp;// u is index of tmp dot
    for(int i=1;i<n;++i){// n-1 edges
        u=v;
        tmp=INF;
        for(int j=1;j<=n;++j){// find the nearest vertex
            if(!vis[j]&&dist[j]<tmp){
                tmp=dist[j];
                u=j;
            }
        }
        vis[u]=true;
        sum+=dist[u];
        used[u][pre[u]]=used[pre[u]][u]=true;

        for(int j=1;j<=n;++j){
            if(vis[j]&&u!=j)//path[u][j] means the longest edges of the path from u to j
                path[j][u]=path[u][j]=max(path[j][pre[u]],dist[u]);
            if(!vis[j]&&dist[j]>G[u][j]){//relax
                dist[j]=G[u][j];
                pre[j]=u;// 
            }
        }
    }
    return sum;
}

int second_MST(int tot) {
    int ans=INF;
    //puts("test in second_MST:\n");
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=n;++j){
            //printf("%d %d : used=%d , path=%d ,G=%d\n",i,j,used[i][j]?1:0,path[i][j],G[i][j]);
            if(!used[i][j]&&i!=j)
            ans=min(ans,tot-path[i][j]+G[i][j]);
        }
    }
    return ans;
}

int main(){
    int Test;
    scanf("%d",&Test);
    while(Test--) {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        
        // initial
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j) G[i][j]=INF;
        
        for(int i=0;i<m;++i){
            int u,v,w;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            G[u][v]=w,G[v][u]=w;
        }
        
        int tot = prim(1);
        int ans=second_MST(tot);
        //printf("tot and ans : %d , %d\n",tot,ans);
        if(ans==tot) puts("Not Unique!");
        else printf("%d\n",tot);
    } 
    return 0;
}