codeforces 932 E. Team Work
给定$n,k$,求$\sum\limits_{i=0}^{n}C(n,i) \times i^k$
$1 \le n \le 10^9, 1 \le k \le 5000$
推式子:
$$\begin{align}&\sum_{i=0}^{n}C(n,i) \times i^k \\=&\sum_{i=0}^{n}C(n,i) \times \sum_{j=0}^{k}S(k,j)C(i,j)j! \\=&\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}S(k,j)\frac{n!i!j!}{j!(i-j)!i!(n-i)!} \\=&\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}S(k,j)\frac{n!}{(i-j)!(n-i)!} \\=&n!\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}S(k,j)\frac{(n-j)!}{(i-j)!(n-i)!(n-j)!} \\=&n!\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}S(k,j)C(n-j,n-i)\frac{1}{(n-j)!} \\=&n!\sum_{j=0}^{k}\frac{S(k,j)}{(n-j)!}\sum_{i=0}^{n}C(n-j,n-i) \\=&n!\sum_{j=0}^{k}S(k,j)\frac{2^{n-j}}{(n-j)!}\end{align}$$
一些解释:
1. 第二类斯特林数推导公式:$$n^k=\sum_{i=0}^{k}S(k,i)C(n,i)i!$$
2. 部分组合数推导公式:$$\begin{align}&\sum_{i=0}^{n}C(n-j,n-i) \\=&\sum_{i=j}^{n}C(n-j,n-i) \\=&\sum_{i=0}^{n-j}C(n-j,n-j-i) \\=&\sum_{i=0}^{n-j}C(n-j,i) \\=&(1+1)^{n-j} \\=&2^{n-j}\end{align}$$
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int N = 5010, p = 1e9 + 7; 4 int n, k, S[N][N]; 5 int pw(int a, int b) { 6 int r = 1; 7 for( ; b ; b /= 2, a = 1ll * a * a % p) if(b & 1) r = 1ll * r * a % p; 8 return r; 9 } 10 int main() { 11 scanf("%d%d", &n, &k); 12 S[0][0] = 1; 13 for(int i = 1 ; i <= k ; ++ i) { 14 for(int j = 1 ; j <= i ; ++ j) { 15 S[i][j] = (S[i - 1][j - 1] + 1ll * j * S[i - 1][j] % p) % p; 16 } 17 } 18 int ans = 0, tot = 1; 19 for(int j = 0 ; j <= k ; ++ j) { 20 ans = (ans + 1ll * S[k][j] * pw(2, n - j) % p * tot % p) % p; 21 tot = 1ll * tot * (n - j) % p; 22 } 23 printf("%d\n", (1ll * ans % p + p) % p); 24 }