【复健】线段树

线段树复健

OJ 上的题还没做完，下午再说（你

概念

一种二叉搜索树，通过二叉树形结构储存数据，能够解决大部分与区间操作有关的问题，当然应用范围不止于区间操作。

原理是用二分（？）维护一定的区间。

主体部分实现

建树

考虑递归建树，一直二分直到只剩一个数据为止。

展开代码

inline void pushup(ll k) {
    sum[k] = sum[ls(k)] + sum[rs(k)];
} //修改和建树都要用到这个操作
inline void build(ll k, ll l, ll r) {
    if(l == r) {sum[k] = a[l]; return; }
    build(ls(k), l, mid(l, r));
    build(rs(k), mid(l, r) + 1, r);
    pushup(k);
}

懒标记（Lazy Tag）

通过标记当前节点左右儿子需要修改的量，减少重复计算，降低时间复杂度。

展开代码

inline void add(ll k, ll l, ll r, ll v) {
    lazy[k] += v, sum[k] += v * len(l, r);
}
inline void pushdown(ll k, ll l, ll r) {
    add(ls(k), l, mid(l, r), lazy[k]);
    add(rs(k), mid(l, r) + 1, r, lazy[k]);
    lazy[k] = 0;
} //下传标记，修改左右儿子的值

区间操作

核心是不断二分并下传标记，当二分到需求的区间内时返回。

区间修改和查询的示例：

展开代码

inline void update(ll k, ll l, ll r, ll x, ll y, ll v) {
    if(l >= x && r <= y) {add(k, l, r, v); return; }
    pushdown(k, l, r);
    if(x <= mid(l, r)) update(ls(k), l, mid(l, r), x, y, v);
    if(mid(l, r) < y) update(rs(k), mid(l, r) + 1, r, x , y, v);
    pushup(k); //更新区间的值
}
inline ll query(ll k, ll l, ll r, ll x, ll y) {
    if(l >= x && r <= y) return sum[k];
    ll ans = 0;
    if(x <= mid(l, r)) ans += query(ls(k), l, mid(l, r), x, y);
    if(mid(l, r) < y) ans += query(rs(k), mid(l, r) + 1, r, x, y);
    return ans;
}

例题

延绵的山峰

没找到原题

展开题面

有一座延绵不断、跌宕起伏的山，最低处海拔为 \(0\), 最高处海拔不超过 \(8848\) 米，从这座山的一端走到另一端的过程中，每走 \(1\) 米海拔就升高或降低 \(1\) 米。有 \(Q\) 个登山队计划在这座山的不同区段登山，当他们攀到各自区段的最高峰时，就会插上队旗。请你写一个程序找出他们插旗的高度。

区间最值，需要注意的是输入数据是编号 \(0\sim n\) 的高度。

展开代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ls(x) (x << 1)
#define rs(x) (x << 1 | 1)
#define mid(l, r) ((l + r) >> 1)
#define len(l, r) (r - l + 1)
#define MyWife Cristallo

using namespace std;

const int N = 5 * 1e6 + 5;

ll n, m, a[N], x, y, z, b, sum[N], lazy[N];

inline void pushup(ll k) {
    sum[k] = max(sum[ls(k)], sum[rs(k)]);
}

inline void build(ll k, ll l, ll r) {
    if(l == r) {sum[k] = a[l]; return; }
    build(ls(k), l, mid(l, r));
    build(rs(k), mid(l, r) + 1, r);
    pushup(k);
}
/*
inline void add(ll k, ll l, ll r, ll v) {
    lazy[k] += v, sum[k] += v * len(l, r); 
}

inline void pushdown(ll k, ll l, ll r) {
    add(ls(k), l, mid(l, r), lazy[k]);
    add(rs(k), mid(l, r) + 1, r, lazy[k]);
    lazy[k] = 0;
}

inline void update(ll k, ll l, ll r, ll x, ll y, ll v) {
    if(l >= x && r <= y) {add(k, l, r, v); return; }
    pushdown(k, l, r);
    if(x <= mid(l, r)) update(ls(k), l, mid(l, r), x, y, v);
    if(mid(l, r) < y) update(rs(k), mid(l, r) + 1, r, x , y, v);
    pushup(k);
}
*/
inline ll query(ll k, ll l, ll r, ll x, ll y) {
    //cout << k << " " << sum[k] << endl;
    if(l >= x && r <= y) return sum[k];
    ll ans = -1;
    //pushdown(k, l, r);
    if(x <= mid(l, r)) ans = max(ans, query(ls(k), l, mid(l, r), x, y));
    if(mid(l, r) < y) ans = max(ans, query(rs(k), mid(l, r) + 1, r, x, y));
    return ans;
}

int main() {
    scanf("%lld", &n);
    scanf("%lld", &a[0]);
    for(ll i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld", a + i);
    build(1, 1, n);
    scanf("%lld", &m);
    while(m--) {
        scanf("%lld%lld", &x, &y);
        //cout << x << "　" << y << endl;
        printf("%lld\n", query(1, 1, n, x, y));
    }
    return 0;
}

感谢伟大的 2k3h 先生做出的贡献：