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【做题笔记】收集邮票做题笔记

P4550 收集邮票

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P4550 收集邮票

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$k \geq 1$ 时，可以通过支付 $k$ 元钱获得一张 $n$ 种邮票中的某种邮票。这 $n$ 种邮票等概率出现，求买到全部 $n$ 种邮票的花费期望。

Step 1

$k$ 次 $k$ 元太难搞了，干脆直接全打成 $1$ 元。

设买到 $i$ 张邮票，要买完全部 $n$ 种所需的期望价格为 $f_{i}$ .显然 $f_{n} = 0$ .

当买到 $i$ 张邮票时，下次有 $\frac{i}{n}$ 的概率买到有的， $\frac{n - i}{n}$ 的概率买到没有的。

前者期望为 $\frac{i}{n} f_{i}$ ,后者为 $\frac{n - i}{n} f_{i + 1}$ .

得到总期望为：

f_{i} = \frac{i}{n} f_{i} + \frac{n - i}{n} f_{i + 1} + 1

化简可得：

f_{i} = f_{i + 1} + \frac{n}{n - i}

Step 2

接下来扩展到 $k$ 次 $k$ 元。

设 $g_{i}$ 为当前买了 $i$ 张邮票，要买完全部 $n$ 种的期望价格。很显然 $g_{n}$ 也是 $0$ .

于是买到已经有的邮票的期望是 $\frac{i}{n} (g_{i} + f_{i} + 1)$ ,否则期望为 $\frac{n - i}{n} (g_{i + 1} + f_{i + 1} + 1)$ .

所以总期望为：

g_{i} = \frac{i}{n} (g_{i} + f_{i} + 1) + \frac{n - i}{n} (g_{i + 1} + f_{i + 1} + 1)

化简可得：

g_{i} = \frac{n}{n - i} f_{i} + g_{i + 1}

Code

因为只需要推两个式子，直接从 $n$ 开始逆推。可以滚动优化。

展开代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MyWife Cristallo
using namespace std;
int n;
double f, g;
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i = n; i; --i) f += n / (n - i + 1) * 1.0, g += n * f / (n - i + 1) * 1.0;
	printf("%.2lf\n", g);
	return 0;
}

彩蛋

怎么能少了sb错误呢：

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本文作者：Kiichi

本文链接：https://www.cnblogs.com/Kiichi/p/18425789/4550note

posted @ 2024-09-22 20:36 _Kiichi 阅读(49) 评论(0) 编辑收藏举报

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