stream pack 1.
收录动态规划题
1. LuoguP11189 -「KDOI-10」水杯降温
tag：二分、状态设计；link。
发现只用操作 \(1\) 就能够完成当且仅当：
- \(\forall i,a_i\leq 0\)；
- \(a_i-\sum_{j\in son_i}a_j=0\)。
设 \(b_i=a_i-\sum_{j\in son_i}a_j\)，考虑操作 \(2\) 对于 \(b\) 数组的影响。设 \(c_i\) 表示点 \(i\) 上操作 \(2\) 的次数，\(b,c\) 的关系并不简单，但是若设 \(f_i\) 表示 \(i\to 1\) 上 \(c\) 的和，那么有简单的式子：
猜测 \(f_i\) 的取值是一个区间，其实真是。
对于叶子，\(f_i\in[\max(0, -b_i),+\inf)\)；对于非叶子，有
计算左端点后即可二分查找右端点。
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//P11189
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
typedef long long ll;
const ll inf = 5e18;
int c, T, n, lf[N];
vector<int> g[N];
ll a[N], b[N], le[N], ri[N];
bool chk(int x, ll v, int fa){
ll mn = 0, mx = 0;
for(int i : g[x]){
if(i == fa){
continue;
}
if(ri[i] < v){
return 0;
}
mn += max(le[i], v);
mx += ri[i];
mx = min(mx, inf);
}
ll val = b[x] + v;
return val >= mn && val <= mx;
}
void dfs(int x, int fa){
if(lf[x]){
le[x] = max(0ll, -b[x]);
ri[x] = 1e18;
return;
}
for(int i : g[x]){
if(i != fa){
dfs(i, x);
if(le[i] > ri[i]){
le[x] = 1;
ri[x] = 0;
return;
}
}
}
ll sum = 0;
for(int i : g[x]){
if(i != fa){
sum += le[i];
}
}
le[x] = max(0ll, sum - b[x]);
ll L = le[x]-1, R = 1.1e13;
while(L < R){
ll mid = L + R + 1 >> 1;
if(chk(x, mid, fa)){
L = mid;
} else {
R = mid - 1;
}
}
ri[x] = L;
}
int main(){
scanf("%d%d", &c, &T);
while(T--){
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; ++ i){
lf[i] = 1;
vector<int> ().swap(g[i]);
}
for(int i = 2; i <= n; ++ i){
int fa;
scanf("%d", &fa);
lf[fa] = 0;
g[fa].push_back(i);
}
for(int i = 1; i <= n; ++ i){
scanf("%lld", &a[i]);
}
for(int i = 1; i <= n; ++ i){
b[i] = a[i];
for(int j : g[i]){
b[i] -= a[j];
}
}
dfs(1, 0);
if(le[1] <= ri[1]){
puts("Huoyu");
} else {
puts("Shuiniao");
}
}
return 0;
}
2. qoj365/JOISC2017 - 鉄道旅行 (Railway Trip)
tag：倍增、正确性证明；link。
容易发现一个结论：假设一条路径 \(A=x_1,x_2,...,x_p=B\)，那么一定有一条最短路满足存在 \(q\) 使得 \(\forall i\in[1,q),L_{x_i}\leq L_{x_{i+1}};\forall i\in[q,p),L_{x_i}\geq L_{x_{i+1}}\)，即经过的所有点的 \(L\) 是非严格单峰的。
所以重新建图：对点 \(i\)，找到它两侧离它最近的两个点 \(p,q\) 满足 \(L_p\geq L_i\leq L_q\) 并连边 \(L_i\to L_p,L_i\to L_q\)。那么原图的一条最短路可以转化为新图的 \(A\to C,B\to C\) 的两条路径。
倍增，设 \(l/r_{i,j}\) 表示 \(i\) 开始跳 \(2^j\) 步两侧到哪些点，容易证明这也意味着能到 \(L\) 最大的哪两个点。
所以询问时从 \(A\) 开始逼近 \(B\) 变成 \(A'\)，然后 \(B\) 逼近 \(A'\) 得到答案，相当于先跑单峰左边的递增，再跑右边的，所以是正确的。
点击查看代码
//qoj365
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n, k, q, a[N], le[N][20], ri[N][20];
int st[N], tp;
int main(){
scanf("%d%d%d", &n, &k, &q);
st[tp=0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++ i){
scanf("%d", &a[i]);
while(tp && a[st[tp]] < a[i]) -- tp;
le[i][0] = st[tp];
st[++tp] = i;
}
st[tp=0] = n;
for(int i = n; i >= 1; -- i){
while(tp && a[st[tp]] < a[i]) -- tp;
ri[i][0] = st[tp];
st[++tp] = i;
}
for(int i = 1; i <= 19; ++ i){
for(int j = 1; j <= n; ++ j){
le[j][i] = min(le[le[j][i-1]][i-1], le[ri[j][i-1]][i-1]);
ri[j][i] = max(ri[ri[j][i-1]][i-1], ri[le[j][i-1]][i-1]);
}
}
while(q--){
int x, y, ans = 0;
scanf("%d%d", &x, &y);
if(x > y) swap(x, y);
int p = x, q = x;
for(int i = 19; i >= 0; -- i){
int pp = min(le[p][i], le[q][i]);
int qq = max(ri[p][i], ri[q][i]);
if(qq < y){
p = pp;
q = qq;
ans += 1 << i;
}
}
x = q;
p = y, q = y;
for(int i = 19; i >= 0; -- i){
int pp = min(le[p][i], le[q][i]);
int qq = max(ri[p][i], ri[q][i]);
if(pp > x){
p = pp;
q = qq;
ans += 1 << i;
}
}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
