「学习笔记」鞅与停时原理
综合来看，这种方法所适用的赛题中，所定义的随机过程一般有两个特点：各个部分相
对独立，且一次操作不会带来太大的变化。如果题目满足这两个特点，那么基于鞅论的解
法往往能得到关于终态的很多信息。——彭博《鞅与一类关于停时的概率与期望问题》
这类题目需要的条件是终点无法转移，否则势能就不好定义了。
随机过程：在随机的背景下，时刻 \(i\) 会有状态 \(X_i\)，把它们依次记录下来就获得了随机过程。
鞅：称随机过程 \(X=\{X_n,n\geqslant 0\}\) 是鞅，当且仅当 \(\forall X \geqslant 0,E(X_n)<+\infty\)，并且 \(\forall n\geqslant 0,E(X_{n+1}|X_{0}...X_{n})=X_n\)。
根据鞅的定义，可以得到停时原理：对于任意停时 \(t\)（在这个时间结束观测，在不知晓中间的随机过程时讨论停时状态的期望），有 \(E(X_t)=X_0\)。
鞅的应用要结合势能函数。考虑随机过程 \(\{X_0,X_1,...\}\)，如何在不知道中间随机过程的情况下，对于一个给定状态 \(X_t\)，如何求出 \(E(t)\)？我们构造一个函数 \(\Phi(X)\)，满足：\(E(\Phi(X_{n+1})-\Phi(X_n)|\{X_0,...,X_n\})=-1\)，以及 \(\Phi(X_i)\) 为常值，且独一无二。
我们令 \(B_i=\Phi(X_i)+i\)，易知 \(\{B\}\) 是一个鞅，根据停时原理 \(E(B_t)=B_0 \Rightarrow E(\Phi(X_t)+t)=\Phi(X_0)\Rightarrow E(t)=\Phi(X_0)-\Phi(X_t)\)。
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注意到状态中每个联通块其实是相对独立的，所以构造势能函数 \(\Phi(X)=\sum f(d_i)\)，其中 \(d_i\) 为第 \(i\) 个点的度数。
所以 \(f(x)+f(y)-1=\frac 1 2(f(x+1)+yf(0))+\frac 1 2(f(y+1)+xf(0))\)。
所以 \(f(x)+f(y)-1=\frac 1 2 f(x+1)+\frac 1 2 f(y+1)\)。
我们说过 \(f(x)\) 与 \(f(y)\) 独立，所以式子应该也是独立的，不难看出 \(f(x+1)=2f(x)-1=-2^x+1\)。所以就做完了，时间复杂度只需要线性。
先介绍一下当时做这个题的做法。停时原理的式子懒得补了，反正得到的后面的 \(f\) 递推式都是一样的。
好抽象的题。不妨看成枚举哪个颜色活到最后，令 \(f_i\) 为当前颜色有 \(i\) 个球的期望时间贡献。
记 \(s=\sum a_i\)，\(p=\frac {i(s-i)} {s(s-1)}\) 即第一个球选到 \(a_i\)，第二个球选到其他球的概率。那么 \(f_i=pf_{i-1}+pf_{i+1}+(1-2p)f_i+g_i\)，其中 \(g_i\) 为当前颜色有 \(i\) 个球，且当前颜色活到最后的概率。
很妙啊。相当于只计算这个球活到最后的对答案的期望贡献，而这就是我们要的答案。
那么化简就是 \(f_i=2f_{i-1}-f_{i-2}-\frac {s-1} {s-i+1}\)。
考虑边界，\(f_0=0\)，那么 \(f_2=2f_1-1\)，根据数感我们移项 \(f_i-f_{i-1}=f_{i-1}-f_{i-2}-\frac {s-1} {s-i+1}\)，相当于是二阶差分，算每一项的贡献，那么 \(f_s-f_1=-(s-1)(s-2)+(s-1)(f_1-1)\)，又 \(f_s=1\)，所以 \(f_1=\frac {(s-1^2)} {s}\)。
然后递推即可。答案即为 \(\sum f_{a_i}\)。
令 \(all=\sum a_i\)。
\(\sum_{i=1}^n f(a_i)=1+\sum_{i=1}^n \frac {a_i} {all}(f(a_i-1)+\frac {(n-2)\sum_{j\neq i}f(a_j)} {n-1}+\frac {\sum_{j\neq i}f(a_j+1)} {n-1})\).
还是考虑上面的套路，拆分一下这个式子，那么就会出现 \(1\) 怎么分的问题。
很多人分成 \(\sum \frac {a_i} {all}\)，但实际上分成 \(\frac 1 n\) 也是可以的。
那么 \(f(x)=\frac 1 n + \frac {x} {all}f(x-1)+\frac {all-x} {all}*\frac {(n-2)f(x)+f(x+1)} {n-1}\)。
直接递推即可。注意到 \(x=0\) 时，\(f(-1)\) 的系数为 \(0\)，所以才是可行的，而这类题基本都是这样，所以这种方法挺有普适性的。
