「学习笔记」鞅与停时原理

综合来看，这种方法所适用的赛题中，所定义的随机过程一般有两个特点：各个部分相
对独立，且一次操作不会带来太大的变化。如果题目满足这两个特点，那么基于鞅论的解
法往往能得到关于终态的很多信息。——彭博《鞅与一类关于停时的概率与期望问题》

这类题目需要的条件是终点无法转移，否则势能就不好定义了。

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随机过程：在随机的背景下，时刻 $i$ 会有状态 $X_i$，把它们依次记录下来就获得了随机过程。

鞅：称随机过程 $X=\{X_n,n⩾0\}$ 是鞅，当且仅当 $\mathrm{\forall }X⩾0,E(X_n)<+\mathrm{\infty }$，并且 $\mathrm{\forall }n⩾0,E(X_{n+1}|X_0...X_n)=X_n$。

根据鞅的定义，可以得到停时原理：对于任意停时 $t$（在这个时间结束观测，在不知晓中间的随机过程时讨论停时状态的期望），有 $E(X_t)=X_0$。

鞅的应用要结合势能函数。考虑随机过程 $\{X_0,X_1,...\}$，如何在不知道中间随机过程的情况下，对于一个给定状态 $X_t$，如何求出 $E(t)$？我们构造一个函数 $\mathrm{\Phi }(X)$，满足：$E(\mathrm{\Phi }(X_{n+1})-\mathrm{\Phi }(X_n)|\{X_0,...,X_n\})=-1$，以及 $\mathrm{\Phi }(X_i)$ 为常值，且独一无二。

我们令 $B_i=\mathrm{\Phi }(X_i)+i$，易知 $\{B\}$ 是一个鞅，根据停时原理 $E(B_t)=B_0\Rightarrow E(\mathrm{\Phi }(X_t)+t)=\mathrm{\Phi }(X_0)\Rightarrow E(t)=\mathrm{\Phi }(X_0)-\mathrm{\Phi }(X_t)$。

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注意到状态中每个联通块其实是相对独立的，所以构造势能函数 $\mathrm{\Phi }(X)=\sum f(d_i)$，其中 $d_i$ 为第 $i$ 个点的度数。

所以 $f(x)+f(y)-1=\frac{1}{2}(f(x+1)+yf(0))+\frac{1}{2}(f(y+1)+xf(0))$。

所以 $f(x)+f(y)-1=\frac{1}{2}f(x+1)+\frac{1}{2}f(y+1)$。

我们说过 $f(x)$ 与 $f(y)$ 独立，所以式子应该也是独立的，不难看出 $f(x+1)=2f(x)-1=-2^x+1$。所以就做完了，时间复杂度只需要线性。

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CF850F Rainbow Balls

先介绍一下当时做这个题的做法。停时原理的式子懒得补了，反正得到的后面的 $f$ 递推式都是一样的。

好抽象的题。不妨看成枚举哪个颜色活到最后，令 $f_i$ 为当前颜色有 $i$ 个球的期望时间贡献。

记 $s=\sum a_i$，$p=\frac{i(s-i)}{s(s-1)}$ 即第一个球选到 $a_i$，第二个球选到其他球的概率。那么 $f_i=p{f}_{i-1}+p{f}_{i+1}+(1-2p)f_i+g_i$，其中 $g_i$ 为当前颜色有 $i$ 个球，且当前颜色活到最后的概率。

很妙啊。相当于只计算这个球活到最后的对答案的期望贡献，而这就是我们要的答案。

那么化简就是 $f_i=2f_{i-1}-f_{i-2}-\frac{s-1}{s-i+1}$。

考虑边界，$f_0=0$，那么 $f_2=2f_1-1$，根据数感我们移项 $f_i-f_{i-1}=f_{i-1}-f_{i-2}-\frac{s-1}{s-i+1}$，相当于是二阶差分，算每一项的贡献，那么 $f_s-f_1=-(s-1)(s-2)+(s-1)(f_1-1)$，又 $f_s=1$，所以 $f_1=\frac{(s-1^2)}{s}$。

然后递推即可。答案即为 $\sum f_{a_i}$。

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CF1349D Slime and Biscuits

令 $all=\sum a_i$。

$\sum _{i=1}^{n}f(a_i)=1+\sum _{i=1}^n\frac{a_i}{all}(f(a_i-1)+\frac{(n-2)\sum _{j\ne i}f(a_j)}{n-1}+\frac{\sum _{j\ne i}f(a_j+1)}{n-1})$.

还是考虑上面的套路，拆分一下这个式子，那么就会出现 $1$ 怎么分的问题。

很多人分成 $\sum \frac{a_i}{all}$，但实际上分成 $\frac{1}{n}$ 也是可以的。

那么 $f(x)=\frac{1}{n}+\frac{x}{all}f(x-1)+\frac{all-x}{all}\ast \frac{(n-2)f(x)+f(x+1)}{n-1}$。

直接递推即可。注意到 $x=0$ 时，$f(-1)$ 的系数为 $0$，所以才是可行的，而这类题基本都是这样，所以这种方法挺有普适性的。

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