关于一个问题的证明

\(10^{l+c}=10^c(\mathrm {mod}\ b)\)，\(10^c(10^l-1)=0(\mathrm {mod}\ b)\)。
又 \(10^l=1(\mathrm {mod}\ b')\)，所以 \(10^l-1=k_0b'\)。
代入上式，所以 \(10^c(k_0b')=k_1b\)。（注意 \(k_0\) 与 \(10\) 互质）
\(k_0\) 的取值旨在消除 \(k_1b\) 中的 \(b'\) 这个因子。于是可以继续化简为 \(10^c=k_{?}2^{k_2}5^{k_5}\)。
我们又试图寻找最小的 \(c\)。所以 \(k_{?}\) 用来弥补 \(k_2\)、\(k_5\) 中小的那个。所以 \(c=\max(k_2,k_5)\)。

补充：

• \(k_0\) 与 \(10\) 互质是因为 \(10^l-1=k_0b'\)，注意到左边不可能是 \(2\) 或 \(5\) 的因数。

• “最小的 \(c\)” 这里大概可以感性理解一下：\(c'=c+l\) 也是非循环部分的取值之一。

注意 \(ab=0(\mathrm {mod}\ c)\)，并不一定是 \(a=ck\) 或 \(b=ck\)。
e.g. \(2*5=0(\mathrm {mod}\ 10)\)。所以 \(c\) 要为质数。