高维前缀和（sos dp）

来看以下例题：令 $a_{i}$ 为 $\sum_{j ⊊ i} a_{j}$ 。你会说，这简单啊，枚举子集直接 $O (3^{n})$ 。
好的，有没有什么更优秀的算法呢？引入高维前缀和。就比如我们要求一个三维的前缀和，需要写一个比较长的容斥式，并且扩展到多维转移的时间复杂度为 $2^{k}$ 。其实，我们duck不必这样，直接一维一维转移就行了。

for(int i = 1; i <= n; i ++) {
	for(int j = 1; j <= n; j ++) {
		for(int k = 1; k <= n; k ++) pre[i][j][k] += pre[i - 1][j][k];
	}
}
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
	for(int j = 1; j <= n; j ++) {
		for(int k = 1; k <= n; k ++) pre[i][j][k] += pre[i][j - 1][k];
	}
}
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
	for(int j = 1; j <= n; j ++) {
		for(int k = 1; k <= n; k ++) pre[i][j][k] += pre[i][j][k - 1];
	}
}

~~这个看一看应该都能懂吧。（~~
好的，回到这道题，直接给出递推式。

for(int i = 0; i < n; i ++) {
	for(int j = 0; j < (1 << n); j ++) {
		if((j >> i) & 1) dp[j] += dp[j ^ (1 << i)];
	}
}

乍一看就是一个状压，但枚举 $1 \to n$ 被放在了外面。可以把这个状态理解为 $n$ 维只有长度为 $1$ 的高维前缀和，你会发现这和上面那段代码本质上是一样的。
并且，这里可以扩展，不仅仅是 $2$ 进制，令其为 $k$ 进制，时间复杂度为 $n \times k^{n}$ 。

CF165E Compatible Numbers
啊，其实不难。令全集为 $U$ ，目标数为 $a n s$ ，则一定有 $a n s & (U \oplus a_{i}) = a n s$ 。用 sos dp 维护一下就可以了。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 5, MAXM = (1 << 22) + 5;
int n, a[MAXN], dp[MAXM], t, q;
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]), dp[a[i]] = a[i], t = max(t, a[i]); t = log(t) / log(2) + 1;
	for(int i = 0; i < t; i ++) for(int j = 0; j < (1 << t); j ++) if((j >> i) & 1) if(dp[j ^ (1 << i)]) dp[j] = dp[j ^ (1 << i)];
	for(int i = 1; i <= n; i ++) q = ((1 << t) - 1) ^ a[i], printf("%d ", dp[q] ? dp[q] : -1); 
	return 0;
}

CF1208F
注意 sos dp 是不能动态做（即动态插入数）的。~~（废话）~~
发现后面那个 $a_{j} & a_{k}$ 是可以用 sos dp 维护的。然后再遍历 $a_{i}$ 就行了。具体地，令 $d p [S] [2]$ 为 $S$ 所有超集下标的最大值和次大值，遍历 $a_{i}$ 时贪心地从高位到低位加，判断其次大值是否比 $i$ 大即可。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 5, MAXM = (1 << 21) + 5;
int n, a[MAXN], t, dp[MAXM][2], ans;
int Max(int x, int y) { return x > y ? x : y; }
void Insert(int S, int val) {
	if(val > dp[S][0]) dp[S][1] = dp[S][0], dp[S][0] = val;
	else dp[S][1] = Max(dp[S][1], val);
}
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]), Insert(a[i], i), t = max(t, a[i]);
	t = log(t) / log(2) + 1;
	for(int i = 0; i < t; i ++) {
		for(int j = 0; j < (1 << t); j ++) {
			if(!((j >> i) & 1)) Insert(j, dp[j ^ (1 << i)][0]), Insert(j, dp[j ^ (1 << i)][1]);
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; i ++) {
		int res = 0;
		for(int j = t - 1; j >= 0; j --) {
			if((a[i] >> j) & 1) continue;
			if(dp[res | (1 << j)][1] > i) res |= (1 << j);
		}
		if(res || dp[res][1] > i) ans = Max(ans, res | a[i]);
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}