分苹果

题目描述

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？M, N为自然数。说明：如有7个苹果，2个盘子，则(5, 1, 1)和(1, 5, 1)和(1, 1, 5)都是同一种分法。

思路分析

思路一：
我们令f(M)(N)表示M个苹果正好使用N个盘子时的分法个数(当M<N时f(M)(N) = 0)。
假设没有空盘子，则如果M>N，题目可以转换为f(M)(N) = f(M-N)(N)
假设有空盘子，则可以按照空盘子的个数来递归求解，即只有一个空盘子的情况解为:f(M)(N-1), 只有两个空盘子时解为：f(M)(N-2) .... 有N-1个空盘子时，解为f(M)(1)

思路二：
我们令f(M)(N)表示将M个苹果放入N个盘子的解法。则同样分有空盘子和无空盘子的情况：
假设没有空盘子，则f(M)(N) ===> f(M-N)(N)，即首先N个盘子每个盘子放一个苹果，然后将题目转换成M-N个苹果放入N个盘子（缩小M）
假设有一个空盘子，则题目可以转换成f(M)(N) ===> f(M)(N-1) （缩小N）。
此时f(M)(N)表示的是将M个苹果放入N个盘子的最终解，通过上面的分析的到，他应该是上面两个子问题解的和：
即 f(M)(N) = f(M-N)(N) + f(M)(N-1)

最终得到代码如下：

DivideApple

public class DivideApple {
	public static void main(String[] args) {
		DivideApple divideApple = new DivideApple();
		int m = 8; 
		int n = 3;
		System.out.println(divideApple.divideAppleTwo(m, n));
	}
	
	/**
	 * 该方程表示m个苹果放入n个盘子的最终解的个数
	 * @param m 苹果个数
	 * @param n 盘子个数
	 * @return 最终解的个数
	 */
	public int divideAppleTwo(int m, int n) {
		if (m == 0 || n == 1) {
			return 1;
		}
		if (m < n) {
			return divideAppleTwo(m, m);	// 如果苹果个数小于盘子个数，则一定会有至少n-m个空盘子，将问题化为m个苹果放入m个盘子的解的个数
		}
		
		return divideAppleTwo(m - n, n) + divideAppleTwo(m, n - 1);
	}
}