骑士题解

题面

有N个士兵，第i个士兵的重量是w[i]。

有N匹马，第i匹马的重量是h[i]。

现在为每个士兵分配一匹马。

1个士兵和1匹马在一起，就组成了一个骑士。

骑士的战斗力等于士兵的重量和马的重量的乘积。

第1个士兵的身份是班长，为了显示班长的地位，

班长所在的骑士的战斗力必须比其他骑士的战斗力要大。

你是司令，你的任务是为这N个士兵分配马，

那么你有多少种不同的分配方案可以满足上述的要求？

答案模1000000007。

输入格式

第一行，一个整数N。2 <= N <= 2000。

第二行，N个整数，第i个整数是w[i]。 1 <= w[i] <= 1000。

第三行，N个整数，第i个整数是h[i]。 1 <= h[i] <= 1000。

输出格式

 一个整数。

输入/输出例子1

输入：

4

5 8 4 8 

19 40 25 20 

输出：

2

输入/输出例子2

输入：

3
10 2 10 
100 150 200

输出：

3

 

解法

我们读一下题目，有N匹马和N个人，每个人对应一匹马，则该个人的战斗力为马的战斗力*人的战斗力。现1号人是班长，问有几种对应方法使得班长的战斗力是N个人中最高。

数据大小是N<=2000，显然，我们要选一种O(n²)的解法。

我们不知道班长对应哪匹马，所以我们要枚举班长对应哪匹马，这将会用掉一个n。

所以我们的题目变成了：有N匹马和N个人，每个人对应一匹马，则该个人的战斗力为马的战斗力*人的战斗力，问有多少种方法使得每个人战斗力不超过k。

我们要将马和人一一对应，这样我们发现需要O(n²)的时间，这会超时！！

我们再仔细看，假如第i个人和第j个人战斗力w[i]<w[j]，且第l匹马战斗力h[l]，

如果w[i]*h[l]>k，则w[j]*h[l]>k.

反之，如果w[j]*h[l]<k，则w[i]*h[l]<k。

我们发现是有单调性的，即弱的人可以选的马会比强的人可以选的马多，且强的人可以选的马，弱的人同样可以选。

所以我们把马从小到大排，把人从大到小排。

所以我们可以只按马去枚举，然后从强的人开始选，假如不行就可以换次强接着往下看（因为强的人选的次强同样可以选），以此类推。

假如说最强的人可以选sum[1]匹，次强的人可以选sum[2]匹，……最弱的人可以选sum[N-1]匹。

则方案数为sum[1]*(sum[2]-1)*……*(sum[N-1]-N+2)。

因为强的人选走了一匹，且必定会出现在后面的人可以选的方案，所以要减去强的人选走的一匹，后面的人以此类推。

至此，我们完成了在O(n)的时间内求出了：有N匹马和N个人，每个人对应一匹马，则该个人的战斗力为马的战斗力*人的战斗力，问有多少种方法使得每个人战斗力不超过k。

我们枚举班长的马，最终答案就是全部加起来，加法原理。

附上代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long N,w[2005],h[2005],FH,ans,sum,g,k;
int main(){
    scanf("%lld",&N);
    for(int i=1;i<=N;i++){
        scanf("%lld",&w[i]);
    }
    for(int i=1;i<=N;i++){
        scanf("%lld",&h[i]);
    }
    sort(w+2,w+1+N);
    sort(h+1,h+1+N);
    for(int i=1;i<=N;i++){
        FH=h[i]*w[1];
        sum=1;g=N;k=0;
        for(int j=1;j<=N;j++){
            if(i==j)continue;
            while(w[g]*h[j]>=FH){
                sum*=(k-N+g);
                sum%=1000000007;
                g--;
                if(g==1)break;
            }
            k++;
            if(g==1)break;
        }
        while(g!=1){
            sum*=(k-N+g);
            sum%=1000000007;
            g--;
        }
        if(sum<=0)continue;
        ans+=sum;
        ans%=1000000007;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}