BZOJ2144跳跳棋——LCA+二分
题目描述
跳跳棋是在一条数轴上进行的。棋子只能摆在整点上。每个点不能摆超过一个棋子。我们用跳跳棋来做一个简单的
游戏：棋盘上有3颗棋子，分别在a，b，c这三个位置。我们要通过最少的跳动把他们的位置移动成x，y，z。（棋
子是没有区别的）跳动的规则很简单，任意选一颗棋子，对一颗中轴棋子跳动。跳动后两颗棋子距离不变。一次只
允许跳过1颗棋子。
写一个程序，首先判断是否可以完成任务。如果可以，输出最少需要的跳动次数。
输入
第一行包含三个整数，表示当前棋子的位置a b c。（互不相同）
第二行包含三个整数，表示目标位置x y z。（互不相同）
输出
如果无解，输出一行NO。如果可以到达，第一行输出YES，第二行输出最少步数。
样例输入
1 2 3
0 3 5
0 3 5
样例输出
YES
2
【范围】
100% 绝对值不超过10^9
2
【范围】
100% 绝对值不超过10^9
思维神题。
考虑对于当前状态的a,b,c有哪些可移动方案，设d1=b-a,d2=c-b，如果d1!=d2，那么b可以向两边跳，d1,d2其中小的那个可以向中间跳；如果d1=d2那么只能由b向两边跳。
可移动方案最多只有三种，那么可以将每个状态看成一个点，往左右跳看作这个点的左右子节点，往中间跳看作是这个点的父节点，如果不能往中间跳，那这个点就是根节点。
那么所有状态就变成了一个二叉树森林，判断能否完成就变成了判断两个状态是否在同一棵树中，而最小步数自然就是两点间的距离了。
但如果将所有状态都枚举出来显然不行，例如下面这个样例：
1 2 1e9
1e9-1 1e9-2 1e9
要跳1e9级别这么多次，显然不能暴力跳。
那么再回到求答案的那一步，两点间的距离不就是lca分别和两点深度差的和吗！
而深度就是每个点跳到根节点的步数。
那么两点往上跳在原题中就是两边的点往中间跳。
因为跳的点和被跳的点之间的相对距离不变，那么就相当于将两个点都平移了两点间距离这么多。
假设d1>d2，那么c最多向左平移(d1-1)/d2次(因为不能跳到同一个点)。
对于d1和d2，我们可以像求gcd一样辗转相除来求得在二叉树上给出的这两点的深度，然后将深度深的点往上跳使两点深度相同。
接下来只要找到深度相同的这两个点的lca就好了，可以像求倍增lca一样往上跳验证，也可以用二分答案来往上跳验证。
我这里用了二分的写法。注意原题三个数不一定按顺序给出。
#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,b,c;
ll x,y,z;
ll dep1,dep2;
ll root1,root2;
ll l1,l2;
ll len;
void cmp(ll &a,ll &b,ll &c)
{
if(a>b)
{
swap(a,b);
}
if(a>c)
{
swap(a,c);
}
if(b>c)
{
swap(b,c);
}
}
ll find_root(ll a,ll b,ll c,ll &dep,ll &anc)
{
ll d1=b-a;
ll d2=c-b;
while(d1!=d2)
{
if(d1<d2)
{
ll s=d2/d1;
ll t=d2%d1;
if(t==0)
{
dep+=(s-1);
anc=d1;
return a+(s-1)*d1;
}
else
{
dep+=s;
a+=s*d1;
d2=t;
}
}
else
{
ll s=d1/d2;
ll t=d1%d2;
if(t==0)
{
dep+=(s-1);
anc=d2;
return a;
}
else
{
dep+=s;
d1=t;
}
}
}
dep=0;
anc=d1;
return a;
}
void get_fa(ll &a,ll &b,ll &c,ll dep)
{
ll d1=b-a;
ll d2=c-b;
while(dep>0)
{
if(d1<d2)
{
ll s=d2/d1;
ll t=d2%d1;
if(s>=dep)
{
a+=dep*d1;
b+=dep*d1;
if(b==c)
{
b=a;
a-=d1;
}
return ;
}
else
{
dep-=s;
a+=s*d1;
b+=s*d1;
d2=t;
}
}
else
{
ll s=d1/d2;
ll t=d1%d2;
if(s>=dep)
{
c-=dep*d2;
b-=dep*d2;
if(a==b)
{
b=c;
c+=d2;
}
return ;
}
else
{
dep-=s;
b-=s*d2;
c-=s*d2;
d1=t;
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
cmp(a,b,c);
cmp(x,y,z);
l1=find_root(a,b,c,dep1,root1);
l2=find_root(x,y,z,dep2,root2);
if(l1!=l2||root1!=root2)
{
printf("NO");
return 0;
}
if(dep1<dep2)
{
len+=dep2-dep1;
get_fa(x,y,z,len);
}
else
{
len+=dep1-dep2;
get_fa(a,b,c,len);
}
ll l=0;
ll r=min(dep1,dep2);
ll ans=0;
while(l<=r)
{
ll mid=(l+r)/2;
ll a1=a,b1=b,c1=c;
ll x1=x,y1=y,z1=z;
get_fa(a1,b1,c1,mid);
get_fa(x1,y1,z1,mid);
if(a1==x1&&b1==y1&&c1==z1)
{
ans=mid;
r=mid-1;
}
else
{
l=mid+1;
}
}
printf("YES\n");
printf("%lld",len+ans*2);
}
