BZOJ3224普通平衡树——旋转treap

题目：

此为平衡树系列第一道：普通平衡树您需要写一种数据结构，来维护一些数，其中需要提供以下操作：
1. 插入x数
2. 删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)
3. 查询x数的排名(若有多个相同的数，因输出最小的排名)
4. 查询排名为x的数
5. 求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
6. 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)

n<=100000 所有数字均在-107到107内。

输入样例：

10
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598

输出样例：

106465
84185
492737

变量声明：size[x]，以x为根节点的子树大小；ls[x]，x的左儿子；rs[x]，x的右子树；r[x]，x节点的随机数；v[x]，x节点的权值；w[x]，x节点所对应的权值的数的个数。

root，树的总根；tot，树的大小。

treap是tree（树）和heap（堆）的组合词，顾名思义就是在树上建堆，所以treap满足堆的性质，但treap又是一个平衡树所以也满足平衡树的性质（对于每个点，它的左子树上所有点都比它小，它的右子树上所有点都比他大，故平衡树的中序遍历就是树上所有点点权的顺序数列）。

先介绍几个基本旋转treap操作：

1.左旋和右旋

左旋即把Q旋到P的父节点，右旋即把P旋到Q的父节点。

以右旋为例：因为Q>B>P所以在旋转之后还要满足平衡树性质所以B要变成Q的左子树。在整个右旋过程中只改变了B的父节点，P的右节点和父节点，Q的左节点的父节点，与A，B，C的子树无关。

+ View Code?

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void rturn(int &x) {     int t;     t=ls[x];     ls[x]=rs[t];     rs[t]=x;     size[t]=size[x];     up(x);     x=t; } void lturn(int &x) {     int t;     t=rs[x];     rs[x]=ls[t];     ls[t]=x;     size[t]=size[x];     up(x);     x=t; }

2.查询

我们以查询权值为x的点为例，从根节点开始走，判断x与根节点权值大小，如果x大就向右下查询，比较x和根右儿子大小；如果x小就向左下查询，直到查询到等于x的节点或查询到树的最底层。

3.插入

插入操作就是遵循平衡树性质插入到树中。对于要插入的点x和当前查找到的点p，判断x与p的大小关系。注意在每次向下查找时因为要保证堆的性质，所以要进行左旋或右旋。

+ View Code?

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void insert_sum(int x,int &i) {     if(!i)     {         i=++tot;         w[i]=size[i]=1;         v[i]=x;         r[i]=rand();         return ;     }     size[i]++;     if(x==v[i])     {         w[i]++;     }     else if(x>v[i])     {         insert_sum(x,rs[i]);         if(r[rs[i]]<r[i])         {             lturn(i);         }     }     else     {         insert_sum(x,ls[i]);         if(r[ls[i]]<r[i])            {             rturn(i);         }     }           return ; }

4.上传

每次旋转后因为子树有变化所以要修改父节点的子树大小。

+ View Code?

1 2 3 4

void up(int x)                                               {     size[x]=size[rs[x]]+size[ls[x]]+w[x];                             }

5.删除

删除节点的方法和堆类似，要把点旋到最下层再删，如果一个节点w不是1那就把w--就行。

+ View Code?

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void delete_sum(int x,int &i) {     if(i==0)     {         return ;     }     if(v[i]==x)     {         if(w[i]>1)         {             w[i]--;             size[i]--;             return ;         }         if((ls[i]*rs[i])==0)         {             i=ls[i]+rs[i];         }         else if(r[ls[i]]<r[rs[i]])         {             rturn(i);             delete_sum(x,i);         }         else         {             lturn(i);             delete_sum(x,i);         }         return ;     }     size[i]--;     if(v[i]<x)     {         delete_sum(x,rs[i]);     }     else     {         delete_sum(x,ls[i]);     }     return ; }

6.查找排名

查找操作和上面说的差不多，只不过要注意当查找一个节点右子树时要把答案加上这个点的w和这个节点左子树的size。

+ View Code?

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int ask_num(int x,int i) {     if(i==0)     {         return 0;     }     if(v[i]==x)     {         return size[ls[i]]+1;     }     if(v[i]<x)     {         return ask_num(x,rs[i])+size[ls[i]]+w[i];     }     return ask_num(x,ls[i]); }

7.查找权值

和查找排名差不多，查找右子树时要将所查找排名减掉父节点w和父节点的左子树的size。

+ View Code?

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int ask_sum(int x,int i) {     if(i==0)     {         return 0;     }     if(x>size[ls[i]]+w[i])     {         return ask_sum(x-size[ls[i]]-w[i],rs[i]);     }     else if(size[ls[i]]>=x)     {         return ask_sum(x,ls[i]);     }     else     {         return v[i];     } }

8.查找前驱/后继

直接判断大小查询就好了qwq

前驱

+ View Code?

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void ask_front(int x,int i) {     if(i==0)     {         return ;     }     if(v[i]<x)     {         answer=i;         ask_front(x,rs[i]);         return ;     }     else     {         ask_front(x,ls[i]);         return ;     }     return ; }

后继

+ View Code?

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void ask_back(int x,int i) {     if(i==0)     {         return ;     }     if(v[i]>x)     {         answer=i;         ask_back(x,ls[i]);         return ;     }     else     {         ask_back(x,rs[i]);         return ;     } }

最后附上完整代码（虽然有点长但自认为很好理解也很详细。。。）

+ View Code?

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#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> #include<cstring> #include<iostream> #include<ctime> using namespace std; int n; int opt; int x; int size[100001]; int rs[100001]; int ls[100001]; int v[100001]; int w[100001]; int r[100001]; int tot; int root; int answer; void up(int x)                                               {     size[x]=size[rs[x]]+size[ls[x]]+w[x];                             }                                              void rturn(int &x) {     int t;     t=ls[x];     ls[x]=rs[t];     rs[t]=x;     size[t]=size[x];     up(x);     x=t; } void lturn(int &x) {     int t;     t=rs[x];     rs[x]=ls[t];     ls[t]=x;     size[t]=size[x];     up(x);     x=t; } void insert_sum(int x,int &i) {     if(!i)     {         i=++tot;         w[i]=size[i]=1;         v[i]=x;         r[i]=rand();         return ;     }     size[i]++;     if(x==v[i])     {         w[i]++;     }     else if(x>v[i])     {         insert_sum(x,rs[i]);         if(r[rs[i]]<r[i])         {             lturn(i);         }     }     else     {         insert_sum(x,ls[i]);         if(r[ls[i]]<r[i])            {             rturn(i);         }     }     return ; } void delete_sum(int x,int &i) {     if(i==0)     {         return ;     }     if(v[i]==x)     {         if(w[i]>1)         {             w[i]--;             size[i]--;             return ;         }         if((ls[i]*rs[i])==0)         {             i=ls[i]+rs[i];         }         else if(r[ls[i]]<r[rs[i]])         {             rturn(i);             delete_sum(x,i);         }         else         {             lturn(i);             delete_sum(x,i);         }         return ;     }     size[i]--;     if(v[i]<x)     {         delete_sum(x,rs[i]);     }     else     {         delete_sum(x,ls[i]);     }     return ; } int ask_num(int x,int i) {     if(i==0)     {         return 0;     }     if(v[i]==x)     {         return size[ls[i]]+1;     }     if(v[i]<x)     {         return ask_num(x,rs[i])+size[ls[i]]+w[i];     }     return ask_num(x,ls[i]); } int ask_sum(int x,int i) {     if(i==0)     {         return 0;     }     if(x>size[ls[i]]+w[i])     {         return ask_sum(x-size[ls[i]]-w[i],rs[i]);     }     else if(size[ls[i]]>=x)     {         return ask_sum(x,ls[i]);     }     else     {         return v[i];     } } void ask_front(int x,int i) {     if(i==0)     {         return ;     }     if(v[i]<x)     {         answer=i;         ask_front(x,rs[i]);         return ;     }     else     {         ask_front(x,ls[i]);         return ;     }     return ; } void ask_back(int x,int i) {     if(i==0)     {         return ;     }     if(v[i]>x)     {         answer=i;         ask_back(x,ls[i]);         return ;     }     else     {         ask_back(x,rs[i]);         return ;     } } int main() {     srand(12378);     scanf("%d",&n);     for(int i=1;i<=n;i++)     {         answer=0;         scanf("%d%d",&opt,&x);         if(opt==1)         {             insert_sum(x,root);         }         else if(opt==2)         {             delete_sum(x,root);         }         else if(opt==3)         {             printf("%d\n",ask_num(x,root));         }         else if(opt==4)         {             printf("%d\n",ask_sum(x,root));         }         else if(opt==5)         {             ask_front(x,root);             printf("%d\n",v[answer]);         }         else if(opt==6)         {             ask_back(x,root);             printf("%d\n",v[answer]);         }     }     return 0; }