BZOJ3724PA2014Final Krolestwo——欧拉回路+构造
题目描述
你有一个无向连通图，边的总数为偶数。
设图中有k个奇点（度数为奇数的点），你需要把它们配成k/2个点对（显然k被2整除）。对于每个点对(u,v)，你需要用一条长度为偶数（假设每条边长度为1）的路径将u和v连接。每条路径允许经过重复的点，但不允许经过重复的边。这k/2条路径之间也不能有重复的边。
输入
第一行有两个整数n,m(2<=n,m<=250000)，分别表示点数、边数，m为偶数。
接下来m行，每行两个整数a,b(1<=a,b<=n,a≠b)，表示a,b间连有一条边。不存在重边。保证奇点的数目不为零。
输出
如果你认为无解就输出NIE。
设图中有k个奇点，则输出由k/2部分组成，每个部分包含两行：第一行为u,v,l，表示连接的两个点，及路径长度。第二行为空格隔开的l个整数，表示u到v的路径。边按照输入顺序从1到m编号。
若有多组答案，任意输出其中一个。
样例输入
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 1
1 4
2 5
样例输出
1 5 2
6 5
2 4 2
8 4
另一种合法输出：
1 5 6
1 2 3 7 6 5
2 4 2
8 4
根据题目给出的路径没有重边的要求，我们可以尝试找出原图的一个欧拉回路，这样就能满足路径没有重复边的条件了。要使原图有欧拉回路就要保证没有奇度数点，我们新建一个点$x$，将它连边向所有奇度数点，这样就能保证原图有欧拉回路了。但这样还是不能保证每个路径都有偶数条边，我们将原图拆点建新图将一个点$u$拆成$u_{A},u_{B}$两个点，将原图边$(u,v)$变为$(u_{A},v_{B})$或$(u_{B},v_{A})$(具体如何连下面再说)。将所有原图奇度数点$u$在新图中连边$(u_{A},x)$，这样就保证了新图中一条边的两端点下标不同(即一定有一个$A$一个$B$)，而任意一对$A$点之间的任意路径都有偶数条边。对于原图的边我们找出原图的任意一棵生成树，对于不在生成树上的边随便连上述哪种都行，然后我们规定一个生成树的根，从叶子结点往上倒推出每个点连向父亲的边是$(u_{A},v_{B})$还是$(u_{B},v_{A})$。因为原图边数为偶数，所有这样连完显然是可以保证每个点度数为偶数。因为只需要配对原图奇度数的点，也就是新图中与$x$相连的点，我们从$x$开始$dfs$，并记录沿途边的编号并打上访问标记，到一个点时只要有没标记的出边就可以走下去，当再一次走到$x$时就说明匹配了一对点。这样不断走下去，当$x$的出边都被标记时就说明所有点对都匹配完毕。这也就是说实际上我们并不需要求出新图的一个欧拉回路。有一点需要注意的是因为$dfs$找路径时走过的边就不会再走了，而每个点可能会被遍历许多次，所以，每次走完的边都要在链式前向星上删除掉，否则会被卡。
这里有两个版本供大家选择
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define pr pair<int,int>
using namespace std;
char *p1,*p2,buf[100000];
#define nc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
int read() {int x=0; char c=nc(); while(c<48) c=nc(); while(c>47) x=(((x<<2)+x)<<1)+(c^48),c=nc(); return x;}
vector<pr>v[250010];
int vis[500010];
int to[1000010];
int head[500010];
int next[1000010];
int q[500010];
int num[10000010];
int cnt;
int S,T;
int n,m;
int x,y;
int d[250010];
int dep[250010];
int r[250010];
int tot=1;
void add(int x,int y,int id)
{
next[++tot]=head[x];
head[x]=tot;
to[tot]=y;
num[tot]=id;
}
void dfs(int x,int fa,int num)
{
dep[x]=dep[fa]+1;
int len=v[x].size();
for(int i=0;i<len;i++)
{
int to=v[x][i].first;
if(!dep[to])
{
dfs(to,x,v[x][i].second);
}
else if(dep[to]>dep[x])
{
r[x]^=1;
add(x<<1,to<<1|1,v[x][i].second);
add(to<<1|1,x<<1,v[x][i].second);
}
}
if(r[x])
{
r[x]^=1;
add(x<<1,fa<<1|1,num);
add(fa<<1|1,x<<1,num);
}
else
{
r[fa]^=1;
add(x<<1|1,fa<<1,num);
add(fa<<1,x<<1|1,num);
}
}
void dfs2(int x)
{
if(x==1)
{
if(cnt)
{
printf("%d %d %d\n",S,T,cnt);
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
printf("%d ",q[i]);
}
printf("\n");
}
cnt=S=T=0;
}
else
{
T=x>>1;
if(!S)
{
S=x>>1;
}
}
while(1)
{
int i=head[x];
if(!i)
{
break;
}
head[x]=next[i];
if(vis[i>>1])
{
continue;
}
vis[i>>1]=1;
if(num[i])
{
q[++cnt]=num[i];
}
dfs2(to[i]);
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
v[x].push_back(make_pair(y,i));
v[y].push_back(make_pair(x,i));
d[x]++,d[y]++;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
r[i]=d[i]&1;
if(d[i]&1)
{
add(1,i<<1,0);
add(i<<1,1,0);
}
}
dfs(1,0,0);
dfs2(1);
}
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define pr pair<int,int>
using namespace std;
vector<pr>v[500010];
int vis[500010];
int to[1000010];
int head[500010];
int next[1000010];
int q[500010];
int num[10000010];
int cnt;
int S,T;
int n,m;
int x,y;
int d[500010];
int dep[500010];
int r[500010];
int f[500010];
int tot=1;
int find(int x)
{
if(f[x]==x)
{
return x;
}
return f[x]=find(f[x]);
}
void add(int x,int y,int id)
{
next[++tot]=head[x];
head[x]=tot;
to[tot]=y;
num[tot]=id;
r[x]++;
}
void dfs(int x,int fa,int num)
{
int len=v[x].size();
for(int i=0;i<len;i++)
{
if(v[x][i].first!=fa)
{
dfs(v[x][i].first,x,v[x][i].second);
}
}
if(fa)
{
if(r[x]&1)
{
add(x,fa+n,num);
add(fa+n,x,num);
}
else
{
add(x+n,fa,num);
add(fa,x+n,num);
}
}
}
void dfs2(int x)
{
while(1)
{
int i=head[x];
if(i==-1)
{
break;
}
head[x]=next[i];
if(vis[i>>1])
{
continue;
}
vis[i>>1]=1;
dfs2(to[i]);
q[++cnt]=num[i];
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(head,-1,sizeof(head));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
f[i]=i;
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
d[x]++,d[y]++;
int fx=find(x);
int fy=find(y);
if(fx!=fy)
{
f[fx]=fy;
v[x].push_back(make_pair(y,i));
v[y].push_back(make_pair(x,i));
}
else
{
add(x,y+n,i);
add(y+n,x,i);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(d[i]&1)
{
add(0,i,m+i);
add(i,0,m+i);
}
}
dfs(1,0,0);
dfs2(0);
while(cnt)
{
S=q[cnt--]-m;
int i=cnt;
while(q[i]<=m&&i>1)i--;
T=q[i]-m;
printf("%d %d %d\n",S,T,cnt-i);
for(int j=cnt;j>i;j--)
{
printf("%d ",q[j]);
}
printf("\n");
cnt=i-1;
}
}
