[WC2018]州区划分——FWT+DP+FST
题目链接：
题目大意：给n个点的一个无向图，点有点权，要求将这n个点划分成若干个部分，每部分合法当且仅当这部分中所有点之间的边不能构成欧拉回路。对于一种划分方案，第i个部分的权值为这一部分中所有点的权值和比上前i部分所有点的权值和的p次方，一种划分方案的权值为每部分的权值之积。要求求出所有划分方案的权值之和。
我们设f[S]为选中点的状态集合为S时的答案(其中S为二进制状态)，设T为S集合最后一次划分出的集合且要保证集合T合法，那么可以得到转移方程(其中sum代表集合中点权和)：
$f[S]=\sum\limits_{T\subseteq S}^{ }f[S-T]*(\frac{sum[T]}{sum[S]})^p$
这个子集DP直接枚举子集的时间复杂度是O(3^n)，显然过不去，但我们发现这个DP相当于枚举两个集合i,j满足$i\cap j= \varnothing ,i\cup j=S$
这个如果只有子集并的条件可以用直接用FWT来优化，但还要求交集为空的条件就不能一维DP优化了。
我们假设一个点能被划分到多个部分中，那么DP状态就变成了二维：f[i][S]表示选取点集合为S，每部分包含的点数和为i的答案。
设g[i][S]表示集合为S，选取点数为i时sum[S]的p次方，如果S不合法或|S|!=i，那么g[i][S]就为0。(其中|S|表示S集合中的点数即二进制状态中1的个数)
那么转移方程就变成了：
$f[i][S]=\sum\limits_{j=1}^{i}\sum\limits_{T\subseteq S}^{ }\frac{f[j][S-T]*g[i-j][T]}{sum[S]^p}$
这样我们对f数组和g数组进行FWT转化成子集和表达式然后DP，每次乘上sum[S]^p的逆元即可，最后的答案为f[|U|][U]，其中U为全集。时间复杂度为O(2^n*n^2)。
再来说一下如何判欧拉回路：
这个很简单只要一个图联通且每个点的度数都是偶数，那么这个图就是欧拉回路，对于每个二进制状态预处理判断即可，用bfs或dfs或并查集判断都可以。预处理时间复杂度同样是O(2^n*n^2)。
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#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[22][2100000];
int g[22][2100000];
int n,m,p;
const int mod=998244353;
int x[10000];
int y[10000];
int s[30];
int fa[30];
int v[22];
int w[2100000];
int cnt;
int mask;
int lg[2100000];
int inv[2100000];
inline int find(int x)
{
if(fa[x]==x)
{
return x;
}
return fa[x]=find(fa[x]);
}
inline void FWT(int *f,int opt)
{
for(int k=2;k<=(1<<n);k<<=1)
{
for(int i=0,t=k>>1;i<(1<<n);i+=k)
{
for(int j=i;j<i+t;j++)
{
if(opt==1)
{
f[j+t]=(f[j+t]+f[j])%mod;
}
else
{
f[j+t]=(f[j+t]-f[j]+mod)%mod;
}
}
}
}
}
inline int quick_pow(int x,int y)
{
int res=1;
while(y)
{
if(y&1)
{
res=1ll*res*x%mod;
}
y>>=1;
x=1ll*x*x%mod;
}
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&v[i]);
}
mask=(1<<n)-1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
lg[1<<(i-1)]=i;
}
for(int i=1;i<=mask;i++)
{
int sum=0;
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(i&(1<<j))
{
w[i]+=v[j+1];
sum++;
}
}
int num=sum;
inv[i]=quick_pow(w[i],mod-2);
for(int j=1;j<=n;j++)
{
fa[j]=j;
s[j]=0;
}
for(int j=1;j<=m;j++)
{
if(((1<<(x[j]-1))&i)&&((1<<(y[j]-1))&i))
{
int u=find(x[j]);
int v=find(y[j]);
if(u!=v)
{
sum--;
fa[u]=v;
}
s[x[j]]++;
s[y[j]]++;
}
}
int flag=0;
for(int j=0;j<n;j++)
{
if((1<<j)&i)
{
flag|=(s[j+1]&1);
}
}
if(flag||sum>1)
{
g[num][i]=quick_pow(w[i],p);
}
}
f[0][0]=1;
FWT(f[0],1);
for(int i=0;i<=n;i++)
{
FWT(g[i],1);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=i;j++)
{
for(int k=0;k<=mask;k++)
{
f[i][k]+=1ll*g[j][k]*f[i-j][k]%mod;
f[i][k]%=mod;
}
}
FWT(f[i],-1);
for(int k=0;k<=mask;k++)
{
f[i][k]=1ll*f[i][k]*quick_pow(inv[k],p)%mod;
}
if(i<n)
{
FWT(f[i],1);
}
}
printf("%d",f[n][mask]);
}
