$\textbf{全微分方程}$
${\color{Teal}{定义}}如果方程$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$
的左端恰好是某个二元函数$u(x,y)$的全微分，即
$$M(x,y)dx+N(x,y)dy≡du(x,y)$$
则方程为全微分方程，$u(x,y)$称为方程的一个原函数
${\color{Teal}{定理}}$方程是全微分方程的充要条件是:设函数$M(x,y)，N(x,y)$在$xoy$平面上的单连通域D内连续可微，那么在D内恒成立
$$\frac{∂(M(x,y))}{∂y}=\frac{∂(N(x,y))}{∂x}$$成立
则函数$$u(x,y)=\int_{x_{0}}^{x}M(x,y_{0})dx+\int_{y_{0}}^{y}N(x,y)dy$$
或$$u(x，y)=\int_{x_{0}}^{x}M(x,y)dx+\int_{y_{0}}^{y}N(x_{0},y)dy$$
是方程原函数，其中$(x_{0},y_{0})∈D$
全微分方程求解方法
$①$线积分法 如上述定理
$$u(x,y)=c$$
②不定积分法
$$du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy$$
由此得到:$$\frac{∂u}{∂x}=M(x,y)，\frac{∂u}{∂y}=N(x,y)$$
所以$$u(x,y)=\int M(x,y)dx+φ(y)$$
另一方面
$$\frac{∂u(x,y)}{∂y}=\frac{∂}{∂y} \int M(x,y)dx+φ^{'}(y)=N(x,y)$$
由此确定$φ^{'}(y)$，积分求得$φ(y)$把$φ(y)$代入
$$u(x,y)=\int M(x,y)dx+φ(y)$$
即得$u(x,y)$
所以通解为$$u(x,y)=c$$
③观察法
常用的全微分方程表达式
$$xdx+ydy=d(\frac{x^{2}+y^{2}}{2} )$$ $$\frac{xdx+ydy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{2}dln(x^{2}+y^{2})$$ $$\frac{xdy-ydx}{x^{2}}=d(\frac{y}{x})$$ $$\frac{xdy+ydx}{xy}=d{ln(xy)}$$ $$\frac{xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}=d(arctan\frac{y}{x})$$ $$\frac{xdy-ydx}{x^{2}-y^{2}}=\frac{1}{2}dln\frac{x+y}{x-y}$$
例题
例1
$$2xydx+(x^{2}-y^{2})dy=0$$
$$\frac{∂M(x,y)}{∂y}=2x=\frac{∂N(x,y)}{∂x}$$
所以方程是全微分方程
取$x_{0}=0,y_{0}=0$得
$$u(x,y)=\int_{0}^{x}0dx+\int_{0}^{y}(x^{2}-y^{2})dy=x^{2}y-\frac{y^{3}}{3}$$
于是通解为$$x^{2}y-\frac{y^{3}}{3}=c$$
例2
$$2x(1+\sqrt{x^{2}-y})dx-\sqrt{x^{2}-y}dy=0$$
$$\frac{∂M(x,y)}{∂y}=\frac{-x}{\sqrt{x^{2}-y}}=\frac{∂N(x,y)}{∂x}$$
所以方程是全微分方程
$$2xdx+(2x\sqrt{x^{2}-y}dx-\sqrt{x^{2}-y}dy)=0$$
即$$dx^{2}+d(\frac{2}{3}(x^{2}-y)^{\frac{3}{2}})=0$$
所以方程通解为$$x^{2}+\frac{2}{3}(x^{2}-y)^{\frac{3}{2}}=c$$
$\textbf{积分因子}$
定义:若存在可微函数$μ=μ(x,y)$使 $$μM(x,y)dx+μN(x,y)dy=0$$
是全微分方程，则称$μ(x,y)$为方程的积分因子
定理1:$μ(x,y)$是方程积分因子的充要条件是$$\frac{∂(μM)}{∂y}=\frac{∂(μM)}{∂x}$$
定理2:若$μ(x,y)$是方程的一个积分因子，且$μMdx+μNdy=dU$则$μφ(U)$也是方程的积分因子，其中$φ(U)$是U的任一连续函数
积分因子求法
①观察法
常用积分因子
$$-\frac{1}{x^{2}},\frac{1}{y^{2}}，\frac{1}{xy},\frac{1}{x^{2}+y^{2}},\frac{1}{x^{2}-y^{2}}$$
②公式法
若方程$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$中的$M(x,y),N(x,y)$满足
Ⅰ、$$\frac{1}{N}(\frac{∂M}{∂y}-\frac{∂N}{∂x})=φ(x)$$ (仅是x的函数)
则它有积分因子$μ(x)=e^{\int φ(x)dx}$
Ⅱ、$$-\frac{1}{M}(\frac{∂M}{∂y}-\frac{∂N}{∂x})=φ(y)$$ (仅是y的函数)
则它有积分因子$μ(y)=e^{\int φ(y)dy}$
Ⅲ、分组求积分因子法
$$(M_{1}dx+N_{1}dy)+(M_{2}dx+N_{2}dy)=0$$
分别求得各组的积分因子$μ_{1}$和$μ_{2}$
于是就可找到$u_{1}，u_{2}$使
$$μ_{1}M_{1}dx+μ_{1}N_{1}dy=du_{1}$$
$$μ_{2}M_{2}dx+μ_{2}N_{2}dy=du_{2}$$
选适当函数$Φ_{1}(u_{1}),Φ_{2}(u_{2})$使$$μ_{1}Φ_{1}(u_{1})=μ_{2}Φ_{2}(u_{2})$$
可求得方程积分因子为$μ_{1}Φ_{1}(u_{1})$
$$(x^{4}+y^{4})dx-xy^{3}dy=0$$
$$\frac{∂M}{∂y}=4y^{3},\frac{∂N}{∂x}=-y^{3}$$
所以$$\frac{\frac{∂M}{∂y}-\frac{∂N}{∂x}}{N}=\frac{5}{-x}$$
所以$$μ(x)=e^{\int {\frac{5}{-x}dx}=\frac{1}{x^{5}}}$$
方程两边乘$\frac{1}{x^{5}}$得
$$\frac{dx}{x}+\frac{y^{4}}{x^{5}}dx-\frac{y^{3}}{x^{4}}dy=0$$
即 $$d(ln|x|)-d(\frac{y^{4}}{4x^{4}})=0$$
方程通解为$$ln|x|-\frac{y^{4}}{4x^{4}}=c$$
