形如:$$\frac{dy}{dx}=P(x)y^{2}+Q(x)y+R(x)$$
其中P(x)、Q(x)、R(x)是连续可微函数
或形如
$$\frac{dy}{dx}=ay^{2}+\frac{k}{x}y+\frac{c}{x^{m}}$$
其中a、k、c、m为常数
一般情况下，Riccati方程不能用初等积分方法求出它的通解，如果知道它的一个特解，就可以用初等积分方法求出通解
设Riccati方程一个特解$y^{*}=y_{1}$
令$$y=z+y_{1}$$
则Riccati方程转化为
$$\frac{dz}{dx}=[2P(x)y_{1}+Q(x)]z+P(x)z^{2}$$
这是一个伯努利方程，可求出通解，再代入$y=z+y_{1}$即可
特解形式
如果一阶微分方程形式如: $$\frac{dy}{dx}=\frac{f^{'}(x)}{g(x)}-\frac{g^{'}(x)}{f(x)}$$
特解为$y=-\frac{g^{'}(x)}{f(x)}$
例1$$x^{2}y^{'}=x^{2}y^{2}+xy+1$$
解:$$\frac{dy}{dx}=y^{2}+\frac{y}{x}+\frac{1}{x^{2}}$$
由上述特解形式知:$y_{1}=-\frac{1}{x}$是它一个特解
令$y=z-\frac{1}{x}$
代入原方程得到$$\frac{dz}{dx}=z-\frac{z}{x}$$
有解z=0，当$z≠0$时，
令$$u=z^{-1}$$
方程转化为$$\frac{du}{dx}=\frac{u}{x}-1$$
解得通解为$$u=x(c-ln|x|)$$
所以原方程通解为:
$$y=-\frac{1}{x}，y=-\frac{1}{x}+x(c-ln|x|)$$
