求$N^N$的首位数字

正如＂大得多＂定理所言，当$n\longrightarrow \infty$时：

$$  n^n \gg n! \gg a^n \gg n^b \gg ln^kn $$

$f(n) = n^n$的增长速度十分惊人．（其中$a>1,b>0,k\ge1$）

这个问题比求$n^n$的末位数字复杂不少，因为乘法中首位数字的确定与后面所有位上的数字都会有关系．

显然高精度运算是一个选择，不过当$n$巨大时还是可能会吃不消，这里介绍一种比较巧的办法．

这里先约定$lg(n)$即为$log_{10}(n)$;

1.任给一个数$n$,总有$n=10^{lg(n)}$.

2.$lg(n)$可以拆成$[lg(n)]+\{lg(n)\}$的形式，即拆成整数部分与小数部分之和．

3.一个数乘上$10^m$其首位数字不会发生变化（$m$为非负整数），因此$10^{lg(n)}$的最高位即$10^{\{lg(n)\}}$的最高位，而$0\le\{lg(n)\}<1$，因此$ 1\le10^{\{lg(n)\}} \le  9$，因此可以用pow函数快速求出该幂，然后截断取整数部分即可．

贴一下代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    double n;
    scanf("%lf",&n);

    double m = n*log10(n);
    m = m - floor(m);

    double res = pow(10,m);
    printf("%d\n",(int)res);

    return 0;
}