级数收敛的Kummer判别法

Kummer 判别法是判断正项级数收敛性的一种具有普遍性的方法，接下来我们就它来展开讨论。

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Kummer 判别法：

​ 设\(\{c_1, c_2, \ldots, c_n, \ldots\}\) 是使得级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{c_n}\) 发散的一个正数序列， 则对正项级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) , 作序列

\[\mathcal{K}_n = c_n \cdot \frac{a_n}{a_{n+1}} - c_{n+1}. \]

若存在某个正数 \(N\)， 使得\(\forall\ n >N\)， 不等式

\[\mathcal{K}_n \geqslant \delta \]

成立，其中 \(\delta\) 是一个正常数，则级数收敛. 如果 \(\forall \ n > N\)， 有

\[\mathcal{K}_n \leqslant 0, \]

则级数发散.

Proof:

不失一般性，我们可以令 \(\mathcal{K}_n \geqslant \delta\) 对任意的 \(n\) 均成立，则

\[\mathcal{K}_n = c_n \cdot \frac{a_n}{a_{n+1}} - c_{n+1} \geqslant \delta > 0, \]

即

\[c_na_n - c_{n+1}a_{n+1} \geqslant \delta\cdot a_{n+1} > 0. \]

由此可知正数数列 \(\{c_na_n\}\) 单调递减，因而收敛（单调有界）.

因此级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}(c_na_n - c_{n+1}a_{n+1}) \]

收敛，因为它的前 \(n\) 项和 \(c_1a_1 - c_{n+1}a_{n+1}\) 具有有限极限，由比较定理，我们可知级数 \(\sum \delta \cdot a_{n+1}\) 收敛， 从而级数 \(\sum a_n\) 收敛.

另一方面，若

\[\mathcal{K}_n = c_n \cdot \frac{a_n}{a_{n+1}} - c_{n+1} \leqslant 0, \]

则有：

\[\frac{a_{n+1}}{a_n} \geqslant \frac{\frac{1}{c_{n+1}}}{\frac{1}{c_n}}, \]

由级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{c_n} $ 发散，从而级数 \(\sum a_n\) 发散.

Q.E.D.

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利用Kummer判别法，我们可通过灵活地选取序列 \(\{c_n\}\) 来得到一系列更具体的判别法：

1. 取 \(c_n = 1\)，我们有

   \[\mathcal{K}_n = \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1, \]

   即可得到 D'Alembert 判别法；

2. 取 \(c_n = n\)，我们有

   \[\mathcal{K}_n = n \cdot \frac{a_n}{a_{n+1}} - (n+1) = n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} -1 \right) -1, \]

   即可得到 Raabe 判别法；

3. 取 \(c_n = n\ln n\)， 我们有

   \[\mathcal{K}_n = n\ln n \cdot \frac{a_n}{a_{n+1}} - (n+1)\ln(n+1) = \ln n \left[n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} -1 \right) -1\right] - \ln \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1}, \]

   即可得到 Betrand 判别法.