发散级数的求和方法

一般意义下, 对数值级数

\[\sum_{n=0}^{\infty}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_n + \cdots \]

我们是在它部分和极限存在的假定下，取这极限作为级数的和。对于发散的级数，我们可以定义新的级数和的定义，使之在新的意义下是可求和的，我们称之为广义和。

笔者将在这里介绍两种广义求和方法。

幂级数法

对给定的数值级数\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\)，做出幂级数

\[\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n+\cdots\quad ; \]

若这级数关于\(0 < x < 1\)收敛，并且它的和\(S(x)\)在\(x \rightarrow 1-0\) 有极限\(A\)，则数\(A\)称作已给级数的（在泊松意义下的）广义和。

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