简单谈谈动态规划

转自：http://www.woaitqs.cc/program/2016/04/22/dynamic-programming

 

动态规划的精髓在于「规划」，在于对问题的规划上面。当我们遇到一系列问题的时候，常常喜欢把复杂的问题分拆成小问题，动态规划也是对复杂问题的拆分，不过动态规划是更高级的拆分形式而已。高级的地方在于，复杂问题拆分成小问题的方式，同样适用于小问题分拆成更小的问题，也适用于更小的问题分拆成更更小的问题，直到不再是问题。

引用Wiki上的说法，是这样的：动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。

我想读者朋友会忍不住吐槽，你TM说的是什么玩意 (ノ｀Д´)ノ。我们从实际的例子出发，来看看是怎么回事。

跳台阶的问题

小明最近在锻炼身体，坚持跳台阶上18层（真的敲厉害），小明一次可以跳一个台阶，也可以跳两个台阶，问小明有多少种方式可以上18层呢？这是一个非常经典的动态规划问题，我们假如只上一级台阶，那么有多少种方法呢？这里我们用 f(n) 来表示n级台阶的跳法。

• 对于平台而言，就是没有台阶，所以就没有方法上去，也就是说 f(0) = 0；
• 对于一级台阶而言，很简单，就是一步跳上去，所以 f(1) = 1；
• 对于二级台阶而言，我们来分拆下这个问题，只看最后一下是怎么上得二级台阶，根据题意，要么最后一次跳2步，要么最后一次跳1步；小明如果选择一次跳2步的话，那么就有f(2-2); 这是一种方式，那么如果小明选择一次跳1步的话，f(2-1) ; 换而言之，就是f(2) = f(2-2) + f (2-1);
• 对于三级台阶而言，继续分拆这个问题，最后一步跳2级的话，有这么多种跳法 f (3 - 2) = f(1)，如果最后一次跳1级的话，有f(3-1)=f(2) 种跳法；
• … …
• 现在我们可以对问题进行归纳了，上n级台阶的做法 等于 上n-2级台阶的做法 加上上n-1级台阶的做法

聪明的你，一定想出来了，f(n) = f(n-1) + f(n-2), 在这里，我们将 f(n) 称之为状态，f(n) = f(n) + f(n-1) 成为状态转移方程。

具体的实现代码如下：

long long fibonacci(unsigned int n){
    int result[3] = {0, 1, 2};
    if (n <= 2)
        return result[n];

    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

动态规划是也就是寻找一种对问题的观察角度，通过分析构建状态，以及定义状态是如何进行转换的，就能从起始状态出发达到最终状态，让问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。

最小硬币数量

对动态规划初步认识后，再来看看下面的一个例子，加深一下理解。

小明的奶奶，纵横菜市场多年，是位非常睿智慈祥的退休老师。有一天，小明不知道从哪弄到了很多1，2，5毛的硬币，奶奶舍不得这么多硬币，于是就想办法去菜市场花掉这些硬币，但出于面子，又不能每次都用1毛的硬币去买菜，问题来了，有什么方法可以快速帮奶奶用最少的硬币数量来付菜钱？

这也是一道动态规划的题目，我们先来看看状态的定义。这里的状态比较明显就是，f(n)为 n毛钱需要的最少兑换硬币数目。

我们还是和前面一样进行分析

• f(0) = 0; 因为没有钱，也就没有硬币可兑换
• f(1) = f(1-0) + 1；我们来分析下，1毛钱只能用1毛硬币来兑换，所以我们拿起了1毛硬币，剩下的钱就是(1-0)，所以需要的硬币个数，就是1 + f(1-0)
• f(2) = min{ f(2-1) + 1, f(2-2) + 1}; 继续分析，2毛钱可是大钱，我们有2种方法，来进行兑换，一个用1毛的硬币，所以个数就是 1 + f(2-1), 或者我们用一个2毛的硬币，个数就是 1 + f(2-2), 题目中说的是最小个数，因而我们取2者中的最小值;

经过前面的分析，我们就可以得到如下的状态转移方程，f(n)=min{ f(n-price(i))+1 }，其中price(i)表示第i个硬币的面值。

具体算法就能很轻松地写出来了，如果有疑问，请自行Google

best time to buy and sell stock

题目的意思是整个过程中只能买一只股票然后卖出，也可以不买股票。也就是我们要找到一对最低价和最高价，最低价在最高价前面，以最低价买入股票，以最低价卖出股票。

这是一道很经典的动态规划题目，原题链接（https://leetcode.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/）

这题就留给大家思考了，不做具体分析，只列出状态迁移方程，和对应代码

f(n+1) = max{f(n), prices(n+1) - minPrices(n)}, 其中 prices[i]表明第i天的股票价格，minPrices(i)是区间[0,1,2…,i]内的最低价格。用白话文来说，今天截止时最大的收入是前一天收入 与 今天价格与前面最低价之间的差额 的最大值。

int maxProfit(vector<int> &prices) {
    // IMPORTANT: Please reset any member data you declared, as
    // the same Solution instance will be reused for each test case.
	int len = prices.size();
	if(len <= 1) {
		return 0;
	}
	int res = prices[1] - prices[0], minprice = prices[0];
	for(int i = 2; i < len; i++){
		minprice = min(prices[i-1], minprice);
		if(res < prices[i] - minprice)
			res = prices[i] - minprice;
	}
	if(res < 0){
		return 0;
	} else {
		return res;
	}
}