数据结构之二叉树解析
曾经有个朋友问我:二叉树可以用来干啥况?
我回答他:可以搜索、可以排序呀?
可是,排序有快速排序,归并排序,查找有二分法,甚至直接遍历查找,我干啥要使用二叉树呢?
……
这位朋友说的是有道理的,二叉树确实在实际中用的比较少,因为有更高级的树,但是二叉树作为一种最基本最典型的排序树,是研究其他树的基础。除此之外,在面试数据结构的时候,二叉树原理被问到的概率是相当高的。言归正传,我们来分析分析二叉树。
我们知道,在有序数组中,可以快速找到特定的值,但是想在有序数组中插入一个新的数据项,就必须首先找出新数据项插入的位置,然后将比新数据项大的数据项向后移动一位,来给新的数据项腾出空间,删除同理,这样移动很费时。显而易见,如果要做很多的插入和删除操作和删除操作,就不该选用有序数组。
另一方面,链表中可以快速添加和删除某个数据项,但是在链表中查找数据项可不容易,必须从头开始访问链表的每一个数据项,直到找到该数据项为止,这个过程很慢。
树这种数据结构,既能像链表那样快速的插入和删除,又能想有序数组那样快速查找。这里主要实现一种特殊的树——二叉(搜索)树。二叉搜索树有如下特点:一个节点的左子节点的关键字值小于这个节点,右子节点的关键字值大于或等于这个节点。插入一个节点需要根据这个规则进行插入。
删除节点时二叉搜索树中最复杂的操作,但是删除节点在很多树的应用中又非常重要,所以详细研究并总结下特点。删除节点要从查找要删的节点开始入手,首先找到节点,这个要删除的节点可能有三种情况需要考虑。
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该节点是叶节点,没有子节点
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该节点有一个子节点
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该节点有两个子节点
第一种最简单,第二种也还是比较简单的,第三种就相当复杂了。下面分析这三种删除情况:
要删除叶节点,只需要改变该节点的父节点对应子字段的值即可,由指向该节点改为 null 就可以了。垃圾回收器会自动回收叶节点,不需要自己手动删掉;当节点有一个子节点时,这个节点只有两个连接:连向父节点和连向它唯一的子节点。需要从这个序列中剪断这个节点,把它的子节点直接连到它的父节点上即可,这个过程要求改变父节点适当的引用(左子节点还是右子节点),指向要删除节点的子节点即可;第三种情况最复杂,如果要删除有两个子节点的节点,就不能只用它的一个子节点代替它,比如要删除节点25,如果用35取代它,那35的左子节点是15呢还是30?
因此需要考虑另一种方法,寻找它的中序后继来代替该节点。下图显示的就是要删除节点用它的后继代替它的情况,删除后还是有序的。(这里还有更麻烦的情况,即它的后继自己也有右子节点,下面再讨论。)
那么如何找后继节点呢?首先得找到要删除的节点的右子节点,它的关键字值一定比待删除节点的大。然后转到待删除节点右子节点的左子节点那里(如果有的话),然后到这个左子节点的左子节点,以此类推,顺着左子节点的路径一直向下找,这个路径上的最后一个左子节点就是待删除节点的后继。如果待删除节点的右子节点没有左子节点,那么这个右子节点本身就是后继。寻找后继的示意图如下:
找到了后继节点,现在开始删除了,先看第一种情况,后继节点是delNode右子节点的做后代,这种情况要执行以下四个步骤:
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把后继父节点的leftChild字段置为后继的右子节点;
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把后继的rightChild字段置为要删除节点的右子节点;
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把待删除节点从它父节点的leftChild或rightChild字段删除,把这个字段置为后继;
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把待删除的左子节点移除,将后继的leftChild字段置为待删除节点的左子节点。
这下图所示:
如果后继节点就是待删除节点的右子节点,这种情况就简单了,因为只需要把后继为跟的子树移到删除的节点的位置即可。如下图所示:
看到这里,就会发现删除时相当棘手的操作。实际上,因为它非常复杂,一些程序员都尝试着躲开它,他们在Node类中加了一个Boolean字段来标识该节点是否已经被删除,在其他操作之前会先判断这个节点是不是已经删除了,这样删除节点不会改变树的结构。当然树中还保留着这种已经删除的节点,对存储造成浪费,但是如果没有那么多删除的话,这也不失为一个好方法。
另外二叉树有三种遍历方式:前序、中序和后序。这个比较简单,直接看下代码即可。
下面手写个二叉搜索树的代码:
public class BNode { public int key; public double data; public BNode parent; public BNode leftChild; public BNode rightChild; public void displayNode() { System.out.println("{" + key + ":" + data + "}"); } }
public class BinaryTree { private BNode root; // 根节点 public BinaryTree(BNode root) { root = null; } //二搜索树查找的时间复杂度为O(logN) //find node with given key public BNode find(int key) { BNode current = root; while (current.key != key) { if (key < current.key) { current = current.leftChild; } else { current = current.rightChild; } if (current == null) { return null; } } return current; } //插入节点 public void inset(int key, int value) { BNode newNode = new BNode(); newNode.key = key; newNode.data = value; if (root == null) { root = newNode; } else { BNode current = root; BNode parent; while (true) { parent = current; if (key < current.key) { //turn left current = current.leftChild; if (current == null) { parent.leftChild = newNode; newNode.parent = parent; return; } } else { //trun right current = current.rightChild; if (current == null) { parent.rightChild = newNode; newNode.parent = parent; return; } } } } } //遍历二叉树 public void traverse(int traverseType) { switch (traverseType) { case 1: System.out.println("PreOrder Traversal!"); preOrder(root); break; case 2: System.out.println("InOrder Traversal!"); inOrder(root); break; case 3: System.out.println("PostOrder Traversal"); postOrder(root); default: System.out.println("PreOrder Traversal!"); preOrder(root); break; } System.out.println(""); } //前序遍历 public void preOrder(BNode localRoot) { if (localRoot != null) { System.out.println(localRoot.data + " "); preOrder(localRoot.leftChild); preOrder(localRoot.rightChild); } } //中序遍历 public void inOrder(BNode localRoot) { if (localRoot != null) { inOrder(localRoot.leftChild); System.out.println(localRoot.data + " "); inOrder(localRoot.rightChild); } } //后序遍历 public void postOrder(BNode localRoot) { if (localRoot != null) { postOrder(localRoot.leftChild); postOrder(localRoot.rightChild); System.out.println(localRoot.data + " "); } } //查找最小值 /*根据二叉搜索树存储规则:最小值应该是左边那个没有子节点的那个节点*/ public BNode minNumber() { BNode current = root; BNode parent = root; while (current != null) { parent = current; current = current.leftChild; } return parent; } //查找最大值 /*根据二叉搜索树的存储规则:最大值应该是右边那个没有子节点的那个节点*/ public BNode maxNumber() { BNode current = root; BNode parent = root; while (current != null) { parent = current; current = current.rightChild; } return parent; } //删除节点 /* 删除节点在二叉树中是最复杂的,主要有三种情况: 1、该节点没有子节点(简单) 2、该节点有一个子节点(还行) 3、该节点有两个子节点(复杂) 删除节点的时间复杂度为O(logN) */ public boolean delete(int key) { BNode current = root; boolean isLeftChild = true; if (current == null) { return false; } //寻找要删除的节点 while (current.data != key) { if (key < current.data) { isLeftChild = true; current = current.leftChild; } else { isLeftChild = false; current = current.rightChild; } if (current == null) { return false; } } //找到了要删除的节点,下面开始删除 //1、要删除的节点没有子节点,直接将其父节点的左子节点或者右子节点赋为null即可 if (current.leftChild == null && current.rightChild == null) { return false; } //3、要删除的节点有两个子节点 else if (current.leftChild != null && current.rightChild != null) { return false; } //2、要删除的节点有一个子节点,直接将其砍断,将其子节点与其父节点连接起来即可,要考虑特殊情况就是删除根节点,因为根节点没有父节点 else { return false; } } public boolean deleteNoChild(BNode node, boolean isLeftChild) { if (node == root) { root = null; return true; } if (isLeftChild) { node.parent.leftChild = null; } else { node.parent.rightChild = null; } return true; } public boolean deleteOneChild(BNode node, boolean isLeftChild) { if (node.leftChild == null) { if (node == root) { root = node.rightChild; node.parent = null; return true; } if (isLeftChild) { node.parent.leftChild = node.rightChild; } else { node.parent.rightChild = node.rightChild; } } else { if (node == root) { root = node.leftChild; node.parent = null; return true; } if (isLeftChild) { node.parent.leftChild = node.leftChild; } else { node.parent.rightChild = node.rightChild; } } return true; } public boolean deleteTwoChild(BNode node, boolean isLeftChild) { BNode successor = getSuccessor(node); if (node == root) { successor.leftChild = root.leftChild; successor.rightChild = root.rightChild; successor.parent = null; root = successor; } else if (isLeftChild) { node.parent.leftChild = successor; } else { node.parent.rightChild = successor; } //connect successor to node's left child successor.leftChild = node.leftChild; return true; } //获得要删除节点的后继节点(中序遍历的下一个节点) public BNode getSuccessor(BNode delNode) { BNode successor = delNode; BNode current = delNode.rightChild; while (current != null) { successor = current; current = current.leftChild; } if (successor != delNode.rightChild) { (successor).leftChild = successor.rightChild; if (successor.rightChild != null) { //删除后续节点在原来的位置 successor.rightChild.parent = successor.parent; } //将后续节点放到正确的位置,与右边连上 successor.rightChild = delNode.rightChild; } return successor; } }
原文参考微信公众号【程序员私房菜】