【博弈论】HDU - 7216 Triangle Game

思路

先说结论：若 \((a-1)\otimes(b-1)\otimes (c-1)\ne 0\) 则先手必胜（\(\otimes\) 代表异或）。

假设 \(a\le b \le c\)，那么有 \(a+b\ge c\)，则有 \((a-1)+(b-1)\ge (c-1)\)。

令 \(x = (a-1)\otimes (b-1)\otimes (c-1)\)：

当 \(x=0:\)

• \(a=1\)，那么此时有 \((b-1)\otimes (c-1)=0\to a<b=c\)，\(a\) 已经不能再减小了，此时无论减少 \(b\) 还是 \(c\) 都无发构成三角形。

• \(a>1\)，假设将 \(a\to a'\)，此时有 \((a'-1)\ne (a-1)\to (a'-1)\otimes (b-1)\otimes (c-1)\ne 0\)，即转变到 \(x\ne 0\) 情况。

当 \(x\ne 0\):

• 三个不等式必有一个成立 \((a-1)\otimes x < (a-1),(b-1)\otimes x < (b-1),(c-1)\otimes x < (c-1).\)
• 因为 \(x\) 中的 \(1\) 是 \((a-1),(b-1),(c-1)\) 由三者异或得到的，也就是一定是奇数次的 \(1\) 的个数，那么不妨假设最高位的 \(1\) 是由 \((a-1)\) 提供的，（另外两个即便也有 \(1\)，也会因为异或偶数次而被抵消 ），那么我们 \(x\) 的这一位上也一定有 \(1\)，让 \(x\otimes (a-1)\)，就可以抵消最高位的 \(1\) ，使得其小于 \((a-1)\)。所以一定会存在由 \(x\ne 0\to x=0\) 的情况，也就是由必胜态转向必败态。

在两人都采取最优策略的情况下，那么先手就可以决定胜败。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i64 = long long;

void solve() {

	int a, b, c;
	cin >> a >> b >> c;

	cout << ((a - 1) ^ (b - 1) ^ (c - 1) ? "Win" : "Lose") << '\n';

}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);

	int t;
	cin >> t;
	while (t--) {
		solve();
	}

	return 0;
}