《冬训周报四》

并查集

概念与介绍

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。

并查集的思想是用一个数组表示了整片森林（parent），树的根节点唯一标识了一个集合，我们只要找到了某个元素的的树根，就能确定它在哪个集合里。

作用

1.将两个集合合并

2.询问两个元素是否在一个集合当中

基本原理

对于每个集合，我们使用一棵树来表示。树根的编号是整个集合的编号。

集合中每个结点存储它的父节点，fa[x]表示x的父节点。

三个问题

1.如何判断集合编号（树根）：fa[x] == x；

2.如何求x的集合编号：while(fa[x] != x) x= fa[x];

3.如何合并两个集合：假设a是第一个集合的编号，b是第二个集合的编号，则fa[a] = b;

路径压缩

如果直接使用 while(fa[x] != x) x= fa[x]; 寻找根节点，那么它的时间复杂度与树的长度成正比，非常容易超时。

所以在实现的过程中，我们可以使用一个非常巧妙地方法—路径压缩。

压缩前

int find(int x){
     if(fa[x]!=x) x = find(fa[x]);
     return x;
}//递归实现，容易TLE

压缩后

int find(int k)
{
    if(id[k] != k) id[k] = find(id[k]);
    return id[k];
    //每次找到根节点之后，在其回溯过程中
    //将路径上的节点的父节点更新为根节点，大大降低后续查询次数 
}

 

 例题

P3367 【模板】并查集

P1551 亲戚

BFS应用

介绍

广度优先搜索：在面临一个路口时，把所有的岔路口都记下来，然后选择其中一个进入，然后将它的分路情况记录下来，然后再返回来进入另外一个岔路，并重复这样的操作

一个最直观经典的例子就是走迷宫，我们从起点开始，找出到终点的最短路程，很多最短路径算法就是基于广度优先的思想成立的。

概念代码实现

将初始状态推入队列

当队列不空的时候，取队列中的元素，扩展

初始化队列Q；
 Q = {起点};
 标记s；
 while（Q非空）
 {
      取Q队首元素u；
      u出队；
      if（u==目标状态）
      {
         ……
      }
      else
      {
         所有与u相邻且未被访问的点进入队列；
        标记u为已访问；
      }
 }

过程图

 

 

 

最小生成树

介绍

现在假设有一个很实际的问题：我们要在n个城市中建立一个通信网络，则连通这n个城市需要布置n-1一条通信线路，这个时候我们需要考虑如何在成本最低的情况下建立这个通信网？
于是我们就可以引入连通图来解决我们遇到的问题，n个城市就是图上的n个顶点，然后，边表示两个城市的通信线路，每条边上的权重就是我们搭建这条线路所需要的成本，所以现在我们有n个顶点的连通网可以建立不同的生成树，每一颗生成树都可以作为一个通信网，当我们构造这个连通网所花的成本最小时，搭建该连通网的生成树，就称为最小生成树。（引）

即可以认为

一个图中可能存在多条相连的边,我们一定可以从一个图中挑出一些边生成一棵树。这仅仅是生成一棵树,还未满足最小,当图中每条边都存在权重时,这时候我们从图中生成一棵树(n - 1 条边)时,生成这棵树的总代价就是每条边的权重相加之和。

 

 

 一个有N个点的图，边一定是大于等于N-1条的。图的最小生成树，就是在这些边中选择N-1条出来，连接所有的N个点。这N-1条边的边权之和是所有方案中最小的。

实现最小生成树的两种算法

prim（普利姆算法）和Kruskal（克鲁斯卡尔算法）；

由于我自己对这两种算法还不能说有着深刻的理解，在这里放上两位大佬的算法分析

最小生成树详解(模板 + 例题)_潘小蓝的博客-CSDN博客_最小生成树

数据结构--最小生成树详解_Ouyang_Lianjun的博客-CSDN博客_数据结构最小生成树

例题（摘自大佬）

题目

 两种方法代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N=1e5+10,M=2*N,INF=0x3f3f3f3f;

int p[N]; //并查集操作，通过该数组来存储父节点，当下标和其数组对应值相等时，该点便为根节点 
int n,m;

struct Edge
{
    int a;
    int b;
    int c;
    
    bool operator< (const Edge &W) const //建立一个存有边和两端点的结构体数组，并通过边的权重来比较大小 
    {
        return c<W.c;
    } 
}edges[M];

int find(int x)
{
    if(x!=p[x]) p[x]=find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges,edges+m); 
    //将结构体数组通过边的权重从小到大来排序，这样优先遍历的是最小的边
    //某两点的最小边必定会优先被操作，并且通过并查集可以来判断两点是否已经进行连接操作，排除较大重边的影响 
    
    for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i; //并查集初始化操作 
    
    int sum=1,res=0;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int a=edges[i].a,b=edges[i].b,c=edges[i].c;
        a=find(a),b=find(b);
        
        if(a!=b) //如果两点的父节点相同，便表示这两点已经相连，由于边是从小到大遍历，故本次更新操作可以忽略 
        {
            sum++; //记录点的个数，初始值为1，每连接一个点边加1 
            res+=c; //每连接一个点边加上两点之间的权重 
            p[a]=b;
        }
    }
    
    if(sum==n) return res; //若相连的点最终有n个，则表示存在最小生成树，返回最小边权和 
    else return INF; //否则不存在最小生成树 
    
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        edges[i]={a,b,c};
    }
    
    int t=kruskal();
    
    if(t==INF) cout<<"impossible"<<endl;
    else cout<<t<<endl;
    
    return 0;
}

/*
  由n个点和n-1条边生成的无向连通子图被称为生成树，其中边的权值之和最小的生成树即为最小生成树 
 */

代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N=510; 

bool st[N]; //将生成树看成一个集合，在集合中即为true，不在即为false 
int dist[N],g[N][N]; //dist数组是点到该集合的距离，g数组是两点之间的距离 
int n,m,res;

int prim()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    
    for(int i=0;i<n;i++) //因为最小生成树要加入所有点，故要遍历n次 
    {
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j])) //在未加入生成树的点集合中选择一个点 
            {                                     //且该点距离集合的距离最小，符合最小生成树的边权之和最小的特性 
                t=j;
            }
        }
        
        st[t]=true; //选出点后便加入最小生成树集合 
        if(i&&dist[t]==0x3f3f3f3f) return dist[t]; //如果某点不是第一个加入最小生成树中的点，且该点的值为初始化的0x3f3f3f3f，即该点不能与其他点相连，故不能形成最小生成树 
        if(i) res+=dist[t]; //如果该点不是第一个点，则将该点与最小生成树集合之间的边的权重加入结果中 
        
        for(int j=1;j<=n;j++) dist[j]=min(dist[j],g[t][j]); //每次最小生成树集合中加入新的点后，都更新其他点与集合的距离，本质上是更新未加入集合的点，但由于特判增加复杂度，故直接遍历所有点 
    }
    
    return res; //若未发现不与集合连通的点，则返回点之间的边权重之和 
}

int main()
{
    memset(g,0x3f,sizeof(g));
    
    cin>>n>>m;
    
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        g[a][b]=g[b][a]=min(g[a][b],c);
    }
    
    int t=prim();
    
    if(t==0x3f3f3f3f) cout<<"impossible"<<endl;
    else cout<<t<<endl;
    
    return 0;
}

 

补题

清楚姐姐打怪升级

题目

 

 

 

 

 

 代码实现

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100100
#define ll long long
using namespace std;
ll hx[N],n,h[N],v[N],t,a;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin >> n >> t >> a;
    for(ll i=0;i<n;i++)
    {
     cin >> h[i] >> v[i];    
     hx[i] = h[i];    
    }
    ll ans=0;
    bool f=0;
        for(ll i=0;i<n;i++)
         {
                  if(v[i]*t >= a && hx[i] > a)
                  {
                   f=1;
                   break;            
                  }
                else
                {
                    if(hx[i]<=a) ans++;
                    else
                    {
                        hx[i] -= a;
                        ans++;
                        ans += hx[i]/(a-v[i]*t);
                        if(hx[i]%(a-v[i]*t)!=0)
                         ans++;                    
                    }
         }
         
         if(f) cout << "-1" << endl;
         else  cout << (ans-1)*t+1 << endl;
    return 0;
}

清楚姐姐的01背包

题目

 

 

 

 代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int T = 1;
    while(T--){
        int n,m;
        cin>>n>>m;
        int v[110]; 
        int w[110];
        long long dp[110];
        for(int i=1;i<=n;i++){
            cin>>w[i]>>v[i];
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(i==j) continue;
                for(int k=m;k>=w[j];k--){
                    dp[k] = max(dp[k] , dp[k-w[j]] + v[j]);
                }
            }
            long long ans = dp[m]-dp[m-w[i]] - v[i] + 1;
            if(ans<0) cout<<0<<endl;
            else cout<<ans<<endl;
        }
    }
    return 0;
}