关于“捏造函数”题

最近在书上看到了这样一道题。

（2010年高联一试）已知函数 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d (a \not = 0)\), 当 \(0 \le x \le 1\) 时，\(|f'(x)| \le 1\) ，试求 \(a\) 的最大值。

解答：
\(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) ，故

\[ \begin{cases} f'(0) = c,\\ f'(\frac12) = \frac34 a + b + c.\\ f'(1) = 3a + 2b + c. \end{cases} \]

所以可得

\[ 3a = 2f'(0) - 4f'(\frac12) + 2f'(1) \]

故

\[ \begin{align*} 3 |a| &= \left\vert 2f'(0) - 4 f'(\frac12) + 2f'(1) \right\vert\\ & \le 2|f'(0)| + 4|f'(\frac12)| + 2|f'(1)|\\ & \le 8 \end{align*} \]

所以 \(a\le \frac 8 3\)，只需构造 \(f'(x)\) 使得 \(|f'(0)|=|f'(\frac12)|=|f'(1)|=1\) 即可。

乍一看这种做法非常诡异，相当于是在 \(f'(x)\) 是随机选了三个点然后硬点出了解，似乎找到这样的点是碰巧的，选点决定了上界。事实也如此，如果将 \(\frac12\) 换成 \(\frac13\) ，就会得到不一样的上界。

那么我们考察选点对所得上界的影响。
设所选的点为 \(x_1,x_2,x_3 \, (0<x_1<x_2<x_3)\) ，那么有

\[\begin{cases} f'(x_1) = 3ax_1^2 + 2bx_1 + c, \\ f'(x_2) = 3ax_2^2 + 2bx_2 + c, \\ f'(x_3) = 3ax_3^2 + 2bx_3 + c, \\ \end{cases} \]

下一步是将 \(a\) 用 \(f'(x_1),f'(x_2),f'(x_3)\) 表示，由向量基本定理知这样的表示方式是唯一的。
设 \(\alpha ,\beta , \gamma \in \mathbb{R}\) ，则

\[\begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = 0\\ \alpha x_1 + \beta x_2 + \gamma x_3 = 0\\ \alpha x_1^2 + \beta x_2^2 + \gamma x_3^2 = \frac{1}{3} \end{cases} \]

得到的上界 \(M= |\alpha| + |\beta| + |\gamma|\) 。
解上面的方程（用行列式解会方便很多），有

\[\begin{cases} \alpha =\frac13 \cdot \frac{1}{(x_2-x_1)(x_3-x_1)},\\ \beta = - \frac13 \cdot \frac{1}{(x_2-x_1)(x_3-x_2)},\\ \gamma = \frac13 \cdot \frac{1}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}. \\ \end{cases} \]

于是

\[\begin{align*} |\alpha|+|\beta|+|\gamma| &= \frac13 \cdot \frac{2(x_3-x_1)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_2-x_1)} \\ &= \frac13 \cdot \frac{2}{(x_3-x_2)(x_2-x_1)}\\ & \ge \frac{8}{3(x_3-x_1)^2} \ge \frac 8 3 \end{align*} \]

于是 \(x_1=0,\,x_2=\frac12,\,x_3=1\) 时取到最紧的限制 \(\frac38\) .

同时， \(f'(x)\) 是二次函数，而 \(a=\frac38\) 取到的条件是钦定了 \(f'(x_1) , f'(x_2) , f'(x_3)\) ，而由于 \(n+1\) 个点可以确定一个 \(n\) 次函数，所以 \(f'(x)\) 是唯一的。