高维前缀和（SOS DP）
高维前缀和（SOS DP）
通常求二维前缀和，用容斥来求
但其实，完全可以先做一遍行的前缀和，再做一遍列的前缀和
拓展到 \(k\) 维也是如此，可以在 \(O(nk)\) 的复杂度求前缀和
但怎么和 DP 扯上关系？
可以把第 \(i\) 维当作阶段，每一维的具体信息是状态
先枚举阶段，表示当前固定其它维，只统计这一维的贡献，再枚举状态，根据是求前缀和还是后缀和转移
子集求和
它的思想可以用来解决子集求和类问题
如果想对所有 \(i\in[0,2^n)\)，求 \(f_i=\sum_{j\subseteq i}a_j\)
一维一维的处理，枚举第 \(j\) 位，如果第 \(j\) 位是 \(1\)，就加上第 \(j\) 位不是 \(1\) 的 \(f\) 值
其实 \(f\) 滚动掉了阶段这一维，原始的 DP 应是 \(dp(i,s)\) 为处理了状态为 \(s\)，二进制前 \(i\) 位的答案，第 \(i\) 位若为 \(1\)，可以在继承 \(dp(i-1,s)\) 的基础上选择加上第 \(i\) 位为 \(0\) 的子集
超集同理，如果第 \(j\) 位是 \(0\)，就加上第 \(j\) 位是 \(1\) 的 \(f\) 值
这里是超集的代码：
for(ll j = 0; j < 20; ++j) // 高维前缀和，超集
for(ll i = mx; i >= 0; --i) // f[i] 为包含 i的和（有多少个数 & i = i）
if(!((i >> j) & 1)) f[i] += f[i ^ (1ll << j)];
// 倒序枚举：DP数组其实压了一维，用到了比 i大的信息
\(\min,\max\) 同样可做
子集或超集都暗含着偏序关系，求前缀和也如此，每一维都要比当前的小，才可被加入当前的前缀和
Dirichlet 前缀和
可以在 \(O(n\log\log n)\) 的复杂度内求出 \(1\sim n\) 所有数因数/倍数的某些信息，例如，对每个数求出出现在给定集合中因数的个数
把每个数质因数分解，\(x=\sum_{i=1}^k p_i^{a_i},y=\sum_{i=1}^k p_i^{b_i}\)
则 \(x\) 对 \(y\) 产生贡献，当且仅当 \(\forall i\in[1,k],a_i\le b_i\)
本质就是高维前缀和，先枚举质数，再枚举具体是哪个数，注意从小到大枚举
for(ui j = 1; j <= cnt; ++j)
for(ui i = 1; i * prime[j] <= n; ++i) a[i * prime[j]] += a[i];
求倍数的：
for(ll j = 1; j <= cnt; ++j)
for(ll i = V / prime[j]; i > 0; --i) num[i] += num[i * prime[j]];
应用
容斥的思想，与为 \(0\) 不好做，用全集 \(-\) 与不为 \(0\) 的情况，因为不为 \(0\) 说明指定的几位必须为 \(1\)，好处理
枚举指定哪几位为 \(1\)，如果指定的位数为奇数，容斥系数为 \(-1\)，否则为 \(1\)
然后就是求超集的高维前缀和，\(f_i=\sum_{j}[i\subseteq a_j]\)
int main()
{
n = read(), pw[0] = 1;
for(ll i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read(), ++f[a[i]];
for(ll i = 1; i <= n; ++i) pw[i] = add(pw[i - 1], pw[i - 1]);
for(ll j = 0; j < 20; ++j) // 高维前缀和，超集
for(ll i = mx; i >= 0; --i) // f[i] 为包含 i的和（有多少个数 & i = i）
if(!((i >> j) & 1)) f[i] += f[i ^ (1ll << j)]; // 倒序枚举：DP数组其实压了一维，用到了比 i大的信息
for(ll i = 1; i <= mx; ++i)
if(popcnt(i) & 1) ans = add(ans, add(pw[f[i]], mod - 1));
else ans = add(ans, add(mod - pw[f[i]], 1));
printf("%lld", add(add(pw[n], mod - 1), mod - ans)); // 容斥，总方案数-&至少有一位+&至少有两位……
return 0;
}
CF1614D2 Divan and Kostomuksha (hard version)
用类似后缀和的方法求出每个数出现在 \(a\) 序列中倍数的数量，记作 \(num_i\)
考虑 DP，由于 \(\gcd\) 变化时，后一个一定时前一个的因数
因此如果知道上一个 \(\gcd\ i\) 以及下一个 \(\gcd\ j\)，可以用 \(num\) 求出能摆的数有 \(num_j-num_i\) 个，因为是 \(i\) 倍数的一定也是 \(j\) 的倍数，是 \(i\) 倍数的在 \(i\) 处已经被用了，而且 \(i>j\)，在 \(i\) 处用更优
于是设 \(f_i\) 表示末尾 \(\gcd\) 为 \(i\) 倍数时的最大贡献，枚举 \(i\) 的倍数 \(j\) 转移，\(f_i=\max\{f_j+i\times(num_i-num_j)\}\)
初始时 \(f_i=num_i\times i\)，转移从大到小
这样只能通过 Easy version
发现如果 \(j=p_1\times p_2\times\dots\times p_k\times i\)，\(p_1,p_2,\dots p_k\) 为质数，则 \(j\) 对 \(i\) 的贡献被重复枚举
如果一次只多一个质数，例如 \(f_j\) 先贡献给 \(f_{p_2\times\dots\times p_k\times i}\)，再贡献给 \(f_{p_3\times\dots\times p_k\times i}\)，这样转移去除了很多重复工作，且不会漏掉
于是每次枚举质数 \(p_j\)，\(f_i\) 从 \(f_{i\times p_j}\) 转移，复杂度同埃拉托色尼筛法，为 \(O(n\log\log n)\)
int main()
{
read(n);
for(ll i = 1; i <= n; ++i) read(a[i]), ++num[a[i]];
for(ll i = 2; i <= V; ++i)
{
if(!st[i]) prime[++cnt] = i;
for(ll j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= V; ++j)
{
st[i * prime[j]] = 1;
if(i % prime[j] == 0) break;
}
}
for(ll j = 1; j <= cnt; ++j)
for(ll i = V / prime[j]; i > 0; --i) num[i] += num[i * prime[j]];
for(ll i = 1; i <= V; ++i) f[i] = i * num[i];
for(ll i = V; i > 0; --i)
{
for(ll j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= V; ++j)
f[i] = max(f[i], f[i * prime[j]] + i * (num[i] - num[i * prime[j]]));
if(num[i] == n) ans = max(ans, f[i]);
}
cout << ans;
return 0;
}
