二分图知识
二分图判定
二分图为无奇环的无向图，我们可以对图黑白染色，此时如果出现矛盾，则图不是二分图，否则一定是
那么，黑色的点我们称左部点，白色的为右部点
可能会有问题最后转化为二分图判定，要留心
二分图匹配
这是二分图中常考的应用，有两种算法
算法1：匈牙利算法
思想：
它的核心是每次贪心找到一条增广路
增广路指走的路径从非匹配边开始，匹配边与非匹配边交错，最后从左部点走到右部点，以非匹配边结尾的一条路径。
走完后将匹配与非匹配边反转，发现匹配边多了一条
形象理解就是让走到的已匹配的人尝试换组匹配，可以比作大家都挪一挪位置，让新的人有位置坐好像不是很恰当
这里每层进入 dfs 时只会从左部点开始，match[i] 记录右部点 $i$ 的匹配的左部点
要分清楚，每次只能从左部点开始 dfs，如果图混合标号，还要先染色一遍
时间复杂度：最劣 $O(nm)$（虽然一般远远跑不满）
它的时间复杂度不太优秀，不过有个很重要的性质：已经匹配的点不会失配，因此可以做到有匹配的优先级
代码：
算法2：dinic 跑网络流
建图：
$S$ 向左部点连一条容量为 $1$ 的边，左部点向右部点如果有边则连容量为 $1$ 的边，右部点向 $T$ 连容量为 $1$ 的边
直接跑网络流，所得的最大流即为最大匹配数
代码：
时间复杂度：$O(n\sqrt m)$
因为网络流的灵活性，它可以更高效的处理拓展的匹配问题
比如，匹配一对会有权值，在最大匹配的情况下求最大/小权值，此时把左部点连向右部点的边带上费用，跑最大/小费用最大流
又比如说，一个点可以匹配多次，那就更改它连向源点/汇点的流量
二分图性质
定理1：
二分图中，最大匹配数 = 最小点覆盖数 = n - 最大独立集
最大独立集：图中选出的点集两两没有边
最小点覆盖数：图中选出的点集，每条边都至少有一个端点在点集中
定理2：
DAG 中，最大独立集 = 最小链（路径）覆盖数 = n - 拆点二分图的最大匹配数
注意，这里的最小链覆盖数，是每条链不能有重复点的，要用这些链覆盖所有顶点，一个点算一条链
拆点二分图就是把图中每个点拆为 2 个，左部一个右部一个，从 $u\to v$ 右边即把左部的 $u$ 和右部的 $v$ 连边
那如果允许重复点呢？
此时用 floyd $O(n^3)$ 的对图传递闭包（如果 $a\to b$，$b\to c$ 则 $a\to c$），即可转化为不可重复点的覆盖
二分图应用
未完待续，匹配在求一些特殊图的最大团时有应用
还有很多问题，不过它们一般是有这些特点：
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每个只能用指定次数，有多种选择，想让用的次数尽可能多
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可以分为两部分，且每部分之间无关
