多项式求逆

多项式求逆

定义

如果 \(f\)，\(g\) 为 \(n\) 次多项式，\(f\times g\equiv1(\bmod\ x^{n+1})\)，则 \(g\) 为 \(x\) 的逆元

求法

假设我们已知 \(f\times h\equiv1(\bmod\ x^{\lceil\frac n 2\rceil})\)

因为 \(f\times g\equiv1(\bmod\ x^{\lceil\frac n 2\rceil})\)

所以 \(f\times(g-h)\equiv 0(\bmod\ x^{\lceil\frac n 2\rceil})\)

即 \(g-h\equiv 0(\bmod\ x^{\lceil\frac n 2\rceil})\)

由于 \(g,h\) \(0\sim x^{\lceil\frac n 2\rceil-1}\) 次项均为 \(0\)，所以乘起来 \(0\sim n-1\) 次项也为 \(0\)

平方，\(g^2+h^2\equiv 2gh(\bmod\ x^{n})\)

两边同时乘 \(f\)，用 \(f\times g\equiv 1(\bmod\ x^n)\) 代换

\(fg^2+fh^2\equiv 2fgh(\bmod\ x^n)\)

\(g+fh^2\equiv2h(\bmod\ x^n)\)

所以 \(g=h(2-fh)\)

每次递归计算 \(g\)，使之成为上一层的 \(h\)

边界是 \(n=1\)，此时 \(g(0)\) 就是 \(f(0)\) 的逆元

代码

void polyinv(ll *h, ll *f, ll n) // f 为 h 的逆元
{
	if(n == 1)
	{
		f[0] = qmi(h[0], mod - 2);
		return;
	}
	polyinv(h, f, (n + 1) >> 1);
	for(lim = 1; lim <= (n << 1); lim <<= 1);
	for(ll i = 0; i < n; ++i)	tmp[i] = h[i];
	for(ll i = n; i <= lim; ++i)	tmp[i] = 0;
	ntt(tmp, lim, 1), ntt(f, lim, 1);
	for(ll i = 0; i < lim; ++i)	f[i] = add(2ll, mod - tmp[i] * f[i] % mod) * f[i] % mod;
	ntt(f, lim, -1), inv = qmi(lim, mod - 2);
	for(ll i = 0; i < n; ++i)	f[i] = f[i] * inv % mod;
	for(ll i = n; i <= lim; ++i)	f[i] = 0;
}

应用

如果要除以一个多项式，那么类比模意义下的除法，乘这个多项式的逆元即可

所以它是很多多项式计算的基础