多项式求逆

多项式求逆

定义

如果 $f$，$g$ 为 $n$ 次多项式，$f\times g\equiv1(\bmod\ x^{n+1})$，则 $g$ 为 $x$ 的逆元

求法

假设我们已知 $f\times h\equiv1(\bmod\ x^{\lceil\frac n 2\rceil})$

因为 $f\times g\equiv1(\bmod\ x^{\lceil\frac n 2\rceil})$

所以 $f\times(g-h)\equiv 0(\bmod\ x^{\lceil\frac n 2\rceil})$

即 $g-h\equiv 0(\bmod\ x^{\lceil\frac n 2\rceil})$

由于 $g,h$ $0\sim x^{\lceil\frac n 2\rceil-1}$ 次项均为 $0$，所以乘起来 $0\sim n-1$ 次项也为 $0$

平方，$g^2+h^2\equiv 2gh(\bmod\ x^{n})$

两边同时乘 $f$，用 $f\times g\equiv 1(\bmod\ x^n)$ 代换

$fg^2+fh^2\equiv 2fgh(\bmod\ x^n)$

$g+fh^2\equiv2h(\bmod\ x^n)$

所以 $g=h(2-fh)$

每次递归计算 $g$，使之成为上一层的 $h$

边界是 $n=1$，此时 $g(0)$ 就是 $f(0)$ 的逆元

代码

void polyinv(ll *h, ll *f, ll n) // f 为 h 的逆元
{
	if(n == 1)
	{
		f[0] = qmi(h[0], mod - 2);
		return;
	}
	polyinv(h, f, (n + 1) >> 1);
	for(lim = 1; lim <= (n << 1); lim <<= 1);
	for(ll i = 0; i < n; ++i)	tmp[i] = h[i];
	for(ll i = n; i <= lim; ++i)	tmp[i] = 0;
	ntt(tmp, lim, 1), ntt(f, lim, 1);
	for(ll i = 0; i < lim; ++i)	f[i] = add(2ll, mod - tmp[i] * f[i] % mod) * f[i] % mod;
	ntt(f, lim, -1), inv = qmi(lim, mod - 2);
	for(ll i = 0; i < n; ++i)	f[i] = f[i] * inv % mod;
	for(ll i = n; i <= lim; ++i)	f[i] = 0;
}

应用

如果要除以一个多项式，那么类比模意义下的除法，乘这个多项式的逆元即可

所以它是很多多项式计算的基础