环状替换法详解

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环状替换法详解

给定一个整数数组 nums，将数组中的元素向右轮转 k 个位置，其中 k 是非负数。

链接：https://leetcode.cn/problems/rotate-array

示例：

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 3
输出: [5,6,7,1,2,3,4]
解释:
向右轮转 1 步: [7,1,2,3,4,5,6]
向右轮转 2 步: [6,7,1,2,3,4,5]
向右轮转 3 步: [5,6,7,1,2,3,4]
 

1.在官方解答中给出了环装替换法，不易理解，现给出推导：

⭐ 该方法实质可以理解为：

一个圆形桌子上吃饭，每个人想吃的菜不同，就移一下位置。（假设桌子不能转哈）

一共有n个人，要往自己的左手边移动k个位置坐。

ex1：

对于其中一个元素 x ，间隔k回到自己要走a圈，a为整数；

要么一圈经过个元素呢？ n/k个，对吧.（在这个n/k不一定是整数,但是实际要数那么个数就是向下取整）

例如图1：从0开始，间隔3经过了 3和6 。个数为7/3，取整为2

假设x回到自己身上一共经过b个元素，b也是整数。

那么

$$a\ast \frac{n}{k}=b$$

注意：a是整数，b也是整数.

但是！注意了轰！n/k不一定是整数.

$$a\ast \frac{n}{k}\mathrm{是}\mathrm{整}\mathrm{数}，a\mathrm{又}\mathrm{是}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{的}\mathrm{圈}\mathrm{数}，\mathrm{所}\mathrm{以}a=\frac{k}{gcd(k,n)}$$

$$\mathrm{为}\mathrm{啥}\mathrm{是}\frac{k}{gcd(k,n)}\mathrm{呢}？n=gcd(k,n)\ast m,k=gcd(k,n)\ast h$$

$$\frac{n}{k}\mathrm{也}\mathrm{就}\mathrm{是}\frac{m}{h},m\mathrm{和}h\mathrm{不}\mathrm{可}\mathrm{约}，\mathrm{那}\mathrm{么}a=h=\frac{k}{gcd(k,n)}\mathrm{时}\mathrm{最}\mathrm{小}$$

所以：

$$\mathrm{遍}\mathrm{历}\mathrm{次}\mathrm{数}\mathrm{为}：\frac{n}{b}=\frac{n}{a\ast \frac{n}{k}}=gcd(n,k)$$

所以遍历次数gcd(n,k)

2.C++代码如下

class Solution {
public:
    void rotate(vector<int>& nums, int k) {
        if (k == 0)
            return;
        int N = nums.size();
        k = k % N;
        int j;
        int Num = gcd(N, k);
        for (int i = 0; i < Num; ++i)
        {
            j = i; //记录起点
            do
            {
                j = (j + k) % N;
                Swap(nums[i], nums[j]);
            } while (j !=i ); //判断有没有回到原来的位置
        }
       
    }
    void Swap(int& x, int& y)
    {
        int temp = x;
        x = y;
        y = temp;
    }
    //求最大公约数
    int gcd(int a, int b)
    {
        int temp;
        if (a < b)
            Swap(a, b);
        while (b>0)
        {
            temp = a % b;
            a = b;
            b = temp;
        }
        return a;
    }
};

比如图1：0-3-6-2-5-1-4-0

其实就是每次进行交换，0号说我要坐3号位置，那么3号说我让给你你吧，我先坐0号。

但是3号自己也要动，所以3号又从0号坐到了6号

🍰 每次nums[i]存储的都是下一次要交换的人

3.为啥求个数呢？

对于这种情况，n=4,k=2，只遍历一次是行不通的

4.其他方法

4.1 先记录要轮转的元素，再移动

class Solution {
public:
    void rotate(vector<int>& nums, int k) {
        if (k == 0)
            return;
        int N = nums.size();
        k=k%N;
        vector<int>temp(nums.begin() + N - k, nums.end());
        int i = N - 1;
        for (; i >= k; --i)
          nums[i] = nums[i - k];
        for (i = 0; i < k; ++i)
            nums[i] = temp[i];
    }
};

4.2 先总的进行一次翻转，再左右翻转

class Solution {
public:
    void reverse(vector<int>& nums, int start, int end) {
        while (start < end) {
            swap(nums[start], nums[end]);
            start += 1;
            end -= 1;
        }
    }
 
    void rotate(vector<int>& nums, int k) {
        k %= nums.size();
        reverse(nums, 0, nums.size() - 1);
        reverse(nums, 0, k - 1);
        reverse(nums, k, nums.size() - 1);
    }
};