【算法】背包问题
最近面试遇到一道题，一个人的精力是V，有N款游戏，每款游戏的所消耗的经历为对应的C[i],获得的满足感为M[i]。求玩哪几款游戏获得的满足感最高。当时一下没想出来，后来一想，这不就是背包问题吗？ 所以这里整理一下背包问题的算法。
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问题描述：
一个背包的总容量为V,现在有N类物品,第i类物品的重量为weight[i],价值为value[i]
那么往该背包里装东西,怎样装才能使得最终包内物品的总价值最大。这里装物品主要由三种装法：
1、0-1背包：每类物品最多只能装一次
2、多重背包：每类物品都有个数限制，第i类物品最多可以装num[i]次
3、完全背包：每类物品可以无限次装进包内
一、0-1背包
思路分析：
0-1背包问题主要涉及到两个问题的求解
a)求解背包所含物品的最大值：
利用动态规划求最优值的方法。假设用dp[N][V]来存储中间状态值,dp[i][j]表示前i件物品能装入容量为j的背包中的物品价值总和的最大值(注意是最大值),则我们最终只需求知dp[i=N][j=V]的值，即为题目所求。
现在考虑动态规划数组dp[i][j]的状态转移方程：
假设我们已经求出前i-1件物品装入容量j的背包的价值总和最大值为dp[i-1][j],固定容量j的值不变，则对第i件物品的装法讨论如下：
首先第i件物品的重量weight[i]必须小于等于容量j才行，即
1、若weight[i]>j,则第i件物品肯定不能装入容量为j的背包，此时dp[i][j]=dp[i-1][j]
2、若weight[i]<=j,则首先明确的是这件物品是可以装入容量为j的背包的，那么如果我们将该物品装入，则有
dp[i][j]=dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]
随之而来的问题是我们要判断第i件物品装到容量为j的背包后,背包内的总价值是否是最大？其实很好判断，即如果装了第i件物品后的总价值dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]>没装之前的总价值最大值dp[i-1][j]，则肯是最大的；反之则说明第i件物品不必装入容量为j的背包(装了之后总价值反而变小，那么肯定就不需要装嘛)
故，状态转移方程如下：
dp[i][j] = (dp[i-1][j] > (dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]))? dp[i-1][j]:(dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])
注意：这里的前i件物品是给定次序的
b)求出背包中装入物品的编号
这里我们采用逆推的思路来处理，如果对于dp[i][j]>dp[i-1][j]，则说明第i个物品肯定被放入了背包，此时我们再考察dp[i-1][j-weight[i]]的编号就可以了。
/**
* 0-1背包问题
* @param V 背包容量
* @param N 物品种类
* @param weight 物品重量
* @param value 物品价值
* @return
*/
public static String ZeroOnePack(int V,int N,int[] weight,int[] value){
//初始化动态规划数组
int[][] dp = new int[N+1][V+1];
//为了便于理解,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0，从1开始计算
for(int i=1;i<N+1;i++){
for(int j=1;j<V+1;j++){
//如果第i件物品的重量大于背包容量j,则不装入背包
//由于weight和value数组下标都是从0开始,故注意第i个物品的重量为weight[i-1],价值为value[i-1]
if(weight[i-1] > j)
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]);
}
}
//则容量为V的背包能够装入物品的最大值为
int maxValue = dp[N][V];
//逆推找出装入背包的所有商品的编号
int j=V;
String numStr="";
for(int i=N;i>0;i--){
//若果dp[i][j]>dp[i-1][j],这说明第i件物品是放入背包的
if(dp[i][j]>dp[i-1][j]){
numStr = i+" "+numStr;
j=j-weight[i-1];
}
if(j==0)
break;
}
return numStr;
}
0-1背包的优化解法：
/**
* 0-1背包的优化解法
* 思路：
* 只用一个一维数组记录状态，dp[i]表示容量为i的背包所能装入物品的最大价值
* 用逆序来实现
*/
public static int ZeroOnePack2(int V,int N,int[] weight,int[] value){
//动态规划
int[] dp = new int[V+1];
for(int i=1;i<N+1;i++){
//逆序实现
for(int j=V;j>=weight[i-1];j--){
dp[j] = Math.max(dp[j-weight[i-1]]+value[i-1],dp[j]);
}
}
return dp[V];
}
例子：假设现有容量10kg的背包，另外有3个物品，分别为a1，a2，a3。物品a1重量为3kg，价值为4；物品a2重量为4kg，价值为5；物品a3重量为5kg，价值为6。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大？
public class BackPack { public static void main(String[] args) { int m = 10; int n = 3; int w[] = {3, 4, 5}; int p[] = {4, 5, 6}; int c[][] = BackPack_Solution(m, n, w, p); for (int i = 1; i <=n; i++) { for (int j = 1; j <=m; j++) { System.out.print(c[i][j]+"\t"); if(j==m){ System.out.println(); } } } //printPack(c, w, m, n); } /** * @param m 表示背包的最大容量 * @param n 表示商品个数 * @param w 表示商品重量数组 * @param p 表示商品价值数组 */ public static int[][] BackPack_Solution(int m, int n, int[] w, int[] p) { //c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值 int c[][] = new int[n + 1][m + 1]; for (int i = 0; i < n + 1; i++) c[i][0] = 0; for (int j = 0; j < m + 1; j++) c[0][j] = 0; for (int i = 1; i < n + 1; i++) { for (int j = 1; j < m + 1; j++) { //当物品为i件重量为j时，如果第i件的重量(w[i-1])小于重量j时，c[i][j]为下列两种情况之一： //(1)物品i不放入背包中，所以c[i][j]为c[i-1][j]的值 //(2)物品i放入背包中，则背包剩余重量为j-w[i-1],所以c[i][j]为c[i-1][j-w[i-1]]的值加上当前物品i的价值 if (w[i - 1] <= j) { if (c[i - 1][j] < (c[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1])) c[i][j] = c[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1]; else c[i][j] = c[i - 1][j]; } else c[i][j] = c[i - 1][j]; } } return c; }
//输出结果 0 4 4 4 4 4 4 4 4 0 4 5 5 5 9 9 9 9 0 4 5 6 6 9 10 11 11
过程：
二、多重背包
/**
* 第二类背包：多重背包
*
* @param args
*/
public static int manyPack(int V,int N,int[] weight,int[] value,int[] num){
//初始化动态规划数组
int[][] dp = new int[N+1][V+1];
//为了便于理解,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0，从1开始计算
for(int i=1;i<N+1;i++){
for(int j=1;j<V+1;j++){
//如果第i件物品的重量大于背包容量j,则不装入背包
//由于weight和value数组下标都是从0开始,故注意第i个物品的重量为weight[i-1],价值为value[i-1]
if(weight[i-1] > j)
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else{
//考虑物品的件数限制
int maxV = Math.min(num[i-1],j/weight[i-1]);
for(int k=0;k<maxV+1;k++){
dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*weight[i-1]]+k*value[i-1]);
}
}
}
}
/*//则容量为V的背包能够装入物品的最大值为
int maxValue = dp[N][V];
int j=V;
String numStr="";
for(int i=N;i>0;i--){
//若果dp[i][j]>dp[i-1][j],这说明第i件物品是放入背包的
while(dp[i][j]>dp[i-1][j]){
numStr = i+" "+numStr;
j=j-weight[i-1];
}
if(j==0)
break;
}*/
return dp[N][V];
}
三、完全背包
/**
* 第三类背包：完全背包
* 思路分析：
* 01背包问题是在前一个子问题（i-1种物品）的基础上来解决当前问题（i种物品），
* 向i-1种物品时的背包添加第i种物品；而完全背包问题是在解决当前问题（i种物品）
* 向i种物品时的背包添加第i种物品。
* 推公式计算时，f[i][y] = max{f[i-1][y], (f[i][y-weight[i]]+value[i])}，
* 注意这里当考虑放入一个物品 i 时应当考虑还可能继续放入 i，
* 因此这里是f[i][y-weight[i]]+value[i], 而不是f[i-1][y-weight[i]]+value[i]。
* @param V
* @param N
* @param weight
* @param value
* @return
*/
public static String completePack(int V,int N,int[] weight,int[] value){
//初始化动态规划数组
int[][] dp = new int[N+1][V+1];
//为了便于理解,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0，从1开始计算
for(int i=1;i<N+1;i++){
for(int j=1;j<V+1;j++){
//如果第i件物品的重量大于背包容量j,则不装入背包
//由于weight和value数组下标都是从0开始,故注意第i个物品的重量为weight[i-1],价值为value[i-1]
if(weight[i-1] > j)
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-weight[i-1]]+value[i-1]);
}
}
//则容量为V的背包能够装入物品的最大值为
int maxValue = dp[N][V];
int j=V;
String numStr="";
for(int i=N;i>0;i--){
//若果dp[i][j]>dp[i-1][j],这说明第i件物品是放入背包的
while(dp[i][j]>dp[i-1][j]){
numStr = i+" "+numStr;
j=j-weight[i-1];
}
if(j==0)
break;
}
return numStr;
}
/**
* 完全背包的第二种解法
* 思路：
* 只用一个一维数组记录状态，dp[i]表示容量为i的背包所能装入物品的最大价值
* 用顺序来实现
*/
public static int completePack2(int V,int N,int[] weight,int[] value){
//动态规划
int[] dp = new int[V+1];
for(int i=1;i<N+1;i++){
//顺序实现
for(int j=weight[i-1];j<V+1;j++){
dp[j] = Math.max(dp[j-weight[i-1]]+value[i-1],dp[j]);
}
}
return dp[V];
}
转自https://blog.csdn.net/lanyu_01/article/details/79815801
https://blog.csdn.net/u010947534/article/details/88963391
