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KMP（Lead-in）
KMP算法全称Knuth-Morris-Pratt算法，可以在\(O(n + m)\)的时间复杂度下进行在长度为\(n\)的字符串（文本串）中查找另一个长度为\(m\)的字符串（模式串）出现的所有位置，同时也能在\(O(n)\)的时间复杂度下查找一个长度为\(n\)的字符串中，前缀和后缀相同的最大长度。
首先思考一下，如何暴力地在一个字符串中查找另一字符串出现的所有位置，很快可以找到这样一种思路：枚举文本串中所有位置作为模式串的首个字符，然后向后遍历判断这个字符之后是否存在模式串，实现代码如下：
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
string a, b;
int ans = 0;
cin >> a >> b;
int la = a.length(), lb = b.length();
for (int i = 0; i < la; ++i) {
if (a[i] == b[0]) {
for (int j = 0; j < lb; ++j) {
if (a[i + j] != b[j]) break;
if (j == lb - 1) ++ans;
}
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
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KMP（查找）
显然，此时程序的复杂度是\(O(nm)\)的，我们需要对时间复杂度进行优化。
我们可以发现，在上一个代码中，当我们枚举一个字符\(s[i]\)时，这个字符很可能在我们枚举\(s[i-1]\)的时候就被枚举过了，所以我们要对这一部分操作进行精简。
我们引入一个数组\(nxt[i]\)，表示在模式串\(0\sim i-1\)的区间中，前缀和后缀相等的最大长度。
假设以文本串的\(j\)位置为模式串的起始位置进行匹配，匹配到文本串的\(i\)位置（模式串的\(i-k\)位置）出现了失配的情况，按暴力算法我们会以文本串\(j+1\)的位置为模式串的起始位置继续匹配模式串。
然而，我们发现，当出现失配的时候，我们已经有\(k\sim i-1\)区间内的文本串等于\(0\sim i-j-1\)区间内的模式串。
由\(nxt\)数组的定义易得在模式串中，有\(0\sim nxt[i-j]-1\)区间与\(i-k-nxt[i-j]\sim i-j-1\)区间相等
所以模式串的\(0\sim nxt[i-j]-1\)也等于文本串的\(i-nxt[i-j]\sim i-1\)区间。
所以这时我们可以视为我们以文本串的\(i-nxt[i-j]\)为起始位置进行匹配，正在匹配文本串中\(i\)位置的字符是否与模式串中\(nxt[i-j]\)位置的字符相等。
所以，综上所述，我们在匹配字符串时，假设我们在匹配模式串中\(j\)位置上的字符时出现失配的情况，我们只需让\(j=nxt[j]\)然后继续与文本串内的字符继续向后比对，如果再次失配就再次跳\(nxt\)，当\(j\)指向模式串最后一位的下一位时就找到了文本串中的一个模式串。
易得代码实现如下：
for (int j = 0, i = 0; i < len1; ++i) {
while (j && (s1[i] != s2[j])) j = nxt[j];
if (s1[i] == s2[j]) ++j;
if (j == len2) cout << i - len2 + 1 << endl;
}
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KMP（求nxt）
接下来我们就要求\(nxt\)数组，假设我们已经求出来了\(nxt[j]\)，然后我接下来要求\(nxt[j+1]\)，那么我们只需要确认\(s[nxt[j]+1]\)和\(s[j+1]\)是否相等，如果不相等就跳到下一个\(nxt\)，发现基本的思想就是自己跟自己匹配，那么易得代码如下所示（i和j要错开要不然一直是相同的）
for (int j = 0, i = 1; i < len2; ++i) {
while (j && (s2[i] != s2[j])) j = nxt[j];
if (s2[i] == s2[j]) nxt[i + 1] = ++j;
else nxt[i + 1] = 0;
}
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KMP（时间复杂度）
我们可以发现KMP算法只需要对模式串和文本串各遍历一遍即可（少数的跳\(nxt\)操作基本上可以忽略）。
我们优化的思路是尽可能地运用我们已经得出的结果，即尽量从已经得出的状态转移到一个新状态。
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Manacher（Lead-in）
Manacher算法可以在\(O(n)\)的时间复杂度下解决寻找一个字符串内最长回文字符串的问题，这个问题用暴力很好解决。
枚举回文串的奇偶性，若是奇数则枚举中心字符向左右两边扩展，若是偶数就枚举最中心偏左的字符向左右两边扩展。
这个算法分奇偶性，显然并不美观，那我们可以将偶数时也枚举中心，但是枚举的是两个字符间的空格。
然后我们可以将原字符串的空格都用'#'字符代替，然后字符串的左右两头用不同的字符代替。
举个例子，若原字符串是"Kazdale"，则转换后的字符串则为“#K#a#z#d#a#l#e#.”，我们设若枚举$i$为中心，则中心加上回文串的右半边的长度为$pdr[i]$，例如字符串aba（转换后为#a#b#a#.），它的\(pdr[4]\)就等于4，易证字符串转换后求出的\(pdr[i]\)减\(1\)即为以\(i\)为中心时的回文串长度。
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Manacher
暴力算法的时间复杂度为\(O(n^2)\)，我们需要进行优化，
