从KMP到ExKMP

• KMP（Lead-in）

  KMP算法全称Knuth-Morris-Pratt算法，可以在$O(n+m)$的时间复杂度下进行在长度为$n$的字符串（文本串）中查找另一个长度为$m$的字符串（模式串）出现的所有位置，同时也能在$O(n)$的时间复杂度下查找一个长度为$n$的字符串中，前缀和后缀相同的最大长度。
  首先思考一下，如何暴力地在一个字符串中查找另一字符串出现的所有位置，很快可以找到这样一种思路：枚举文本串中所有位置作为模式串的首个字符，然后向后遍历判断这个字符之后是否存在模式串，实现代码如下：

	#include <iostream>
	using namespace std;
	int main() {
		ios::sync_with_stdio(false);
		string a, b;
		int ans = 0;
		cin >> a >> b;
		int la = a.length(), lb = b.length();
		for (int i = 0; i < la; ++i) {
			if (a[i] == b[0]) {
				for (int j = 0; j < lb; ++j) {
					if (a[i + j] != b[j])  break;
					if (j == lb - 1) ++ans;
				}
			}
		}
		cout << ans << endl;
		return 0;
	}

• KMP（查找）

  显然，此时程序的复杂度是$O(nm)$的，我们需要对时间复杂度进行优化。
  我们可以发现，在上一个代码中，当我们枚举一个字符$s[i]$时，这个字符很可能在我们枚举$s[i-1]$的时候就被枚举过了，所以我们要对这一部分操作进行精简。
  我们引入一个数组$nxt[i]$，表示在模式串$0\sim i-1$的区间中，前缀和后缀相等的最大长度。
  假设以文本串的$j$位置为模式串的起始位置进行匹配，匹配到文本串的$i$位置（模式串的$i-k$位置）出现了失配的情况，按暴力算法我们会以文本串$j+1$的位置为模式串的起始位置继续匹配模式串。
  然而，我们发现，当出现失配的时候，我们已经有$k\sim i-1$区间内的文本串等于$0\sim i-j-1$区间内的模式串。
  由$nxt$数组的定义易得在模式串中，有$0\sim nxt[i-j]-1$区间与$i-k-nxt[i-j]\sim i-j-1$区间相等
  所以模式串的$0\sim nxt[i-j]-1$也等于文本串的$i-nxt[i-j]\sim i-1$区间。
  所以这时我们可以视为我们以文本串的$i-nxt[i-j]$为起始位置进行匹配，正在匹配文本串中$i$位置的字符是否与模式串中$nxt[i-j]$位置的字符相等。
  所以，综上所述，我们在匹配字符串时，假设我们在匹配模式串中$j$位置上的字符时出现失配的情况，我们只需让$j=nxt[j]$然后继续与文本串内的字符继续向后比对，如果再次失配就再次跳$nxt$，当$j$指向模式串最后一位的下一位时就找到了文本串中的一个模式串。
  易得代码实现如下：

	for (int j = 0, i = 0; i < len1; ++i) {
		while (j && (s1[i] != s2[j]))  j = nxt[j];
		if (s1[i] == s2[j])  ++j;
		if (j == len2)  cout << i - len2 + 1 << endl;
	}

• KMP（求nxt）

  接下来我们就要求$nxt$数组，假设我们已经求出来了$nxt[j]$，然后我接下来要求$nxt[j+1]$，那么我们只需要确认$s[nxt[j]+1]$和$s[j+1]$是否相等，如果不相等就跳到下一个$nxt$，发现基本的思想就是自己跟自己匹配，那么易得代码如下所示（i和j要错开要不然一直是相同的）

	for (int j = 0, i = 1; i < len2; ++i) {
		while (j && (s2[i] != s2[j]))  j = nxt[j];
		if (s2[i] == s2[j])  nxt[i + 1] = ++j;
		else  nxt[i + 1] = 0;
	}

• KMP（时间复杂度）

  我们可以发现KMP算法只需要对模式串和文本串各遍历一遍即可（少数的跳$nxt$操作基本上可以忽略）。
  我们优化的思路是尽可能地运用我们已经得出的结果，即尽量从已经得出的状态转移到一个新状态。

• Manacher（Lead-in）

  Manacher算法可以在$O(n)$的时间复杂度下解决寻找一个字符串内最长回文字符串的问题，这个问题用暴力很好解决。
  枚举回文串的奇偶性，若是奇数则枚举中心字符向左右两边扩展，若是偶数就枚举最中心偏左的字符向左右两边扩展。
  这个算法分奇偶性，显然并不美观，那我们可以将偶数时也枚举中心，但是枚举的是两个字符间的空格。
  然后我们可以将原字符串的空格都用'#'字符代替，然后字符串的左右两头用不同的字符代替。
  举个例子，若原字符串是"Kazdale"，则转换后的字符串则为“_{#K#a#z#d#a#l#e#.”，我们设若枚举$i$为中心，则中心加上回文串的右半边的长度为$pdr[i]$，例如字符串aba（转换后为}#a#b#a#.），它的$pdr[4]$就等于4，易证字符串转换后求出的$pdr[i]$减$1$即为以$i$为中心时的回文串长度。

• Manacher

  暴力算法的时间复杂度为$O(n^2)$，我们需要进行优化，