树链剖分浅谈
e.g
给你一颗有根树，对区间进行两种操作：1.路径值修改（树上差分？）；2.查询路径和（LCA？）；
确实水到不行= =
我们想要在低时间复杂度的情况下完成这两个操作，用求LCA的方法显然是不现实的，每次修改后都会花费\(O（n）\)的时间复杂度\(dfs\)更新\(dis\)值（老东西，你的LCA最没用了）
（求路径和原理：\(Ans=dis[x]+dis[y]-2*lca(x,y)\)），当然，树链剖分可以解决的问题当然不是这种水题，这道题只是为了引路（老东西，你的水题最没用了）。
在正式开始学习树链剖分之前，我们先来看一些概念：
###一些概念： ####重儿子~~（吃的好的儿子）~~：儿子中子树中节点个数最大的儿子 ####轻儿子~~（吃的不好的儿子）~~：非重儿子的儿子 ####重边：连接父亲与重儿子的边 ####轻边：连接父亲与轻儿子的边 ####重链：重边构成的一条链 ####轻链：轻边构成的一条链 ####如图：  ####图中红色的边就是重边，而重边所连接的点就是重节点，而标上红色五角星的点就是后文的$top$节点，从图中我们也可以~~显然的~~发现，轻边上的叶子节点必然是$top$节点，我们之后也会用到
变量声明：
\(dfn\)：记录遍历后的\(dfs\)序
\(pos\)：记录\(dfs\)之后各节点在\(dfn\)中的编号（树上问题区间问题的思想）
\(top\)：重链的起点
\(dep\)：深度
\(sz\)：子节点个数
\(son\)：重儿子编号
那么，我们就要开始具体实现树链剖分啦！
####首先，我们需要进行两次$dfs$： ####1.记录深度维护重儿子父节点 ####2.连接重链，维护$top$节点，dfs序
####为什么我们不在第一次ds中就维护所有的信息呢？因为：**我们希望优先将重链连接起来，使其在$dfn$中成为连续的一个区间**；当我们在选择重儿子时如果有多个儿子子节点个数相同，我们只需要随便选择一个就好。~~（此乃自然之理）~~
dfs1 code
void dfs1(ll x,ll pre)
{
ll siz=G[x].size();
sz[x]++;
dep[x]=dep[pre]+1;
fa[x]=pre;
for(ll i=0,p=G[x][i]; i<siz; i++,p=G[x][i]) {
if(p==pre) continue;
dfs1(p,x);
sz[x]+=sz[p];
if(sz[p]>sz[son[x]]) son[x]=p;//更新重儿子
}
}
dfs2 code
void dfs2(ll x,ll t,ll pre)
{
top[x]=t;//继承父亲的top
dfn[++tot]=x;
pos[x]=tot;
if(!son[x]) return;
dfs2(son[x],t,x);//优先更新重儿子
ll siz=G[x].size();
for(int i=0,p=G[x][i]; i<siz; i++,p=G[x][i]) {
if(p==pre||p==son[x]) continue;
dfs2(p,p,x);//从之前的结论我们可以看出轻边上的叶子节点必然是top节点，即轻链底端必定是top节点
}
}
那么我们如何解决查询操作呢：
ll solve(ll x,ll y)
{
ll ans=0,fx=top[x],fy=top[y];
for(; fx!=fy;x=fa[x],fx=top[x]) {
if(dep[fx]<dep[fy]) swap(fx,fy),swap(x,y);//可以理解为从深度更深的往上快速跳转
ans+=query(root,1,maxn,pos[fx],pos[x],0);
}
if(pos[x]>pos[y]) swap(x,y);
ans+=query(root,1,maxn,pos[x],pos[y],0);
return ans;
}
从代码中我们也可以看出，这跟倍增的思想非常相似,只不过这里是使用top进行加速罢了
树链剖分的性质：
1.对于任意轻边\((u,v)\)，\(size(u)/2>size(v)\)
2.从根节点到任意节点经过的轻重链个数不会超过\(log_2 N\)
树的统计
(板题)
\(code:\)
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<ctype.h>
#include<vector>
using namespace std;
char buf[1<<20],*p1,*p2;
inline char gc()
{
// return getchar();
return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin))==p1?0:*p1++;
}
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
char tt;
bool flag=0;
while(!isdigit(tt=gc())&&tt!='-');
tt=='-'?(flag=1,x=0):(x=tt-'0');
while(isdigit(tt=gc())) x=x*10+tt-'0';
if(flag) x=-x;
}
const int maxn=30002;
int n,q,tot,M=1;
int son[maxn],sz[maxn],top[maxn],fa[maxn],dep[maxn],pos[maxn];
int sum[maxn<<2],mx[maxn<<2];
vector<int>G[maxn];
void dfs(int x,int pre)
{
dep[x]=dep[pre]+1;
fa[x]=pre;sz[x]++;
for(int i=G[x].size()-1;i>=0;i--)
{
int p=G[x][i];
if(p==pre) continue;
dfs(p,x);sz[x]+=sz[p];
if(sz[p]>sz[son[x]]) son[x]=p;
}
}
void dfs(int x,int pre,int t)
{
top[x]=t;pos[x]=++tot;
if(!son[x]) return;
dfs(son[x],x,t);
for(int i=G[x].size()-1;i>=0;i--)
{
int p=G[x][i];
if(p==pre || p==son[x]) continue;
dfs(p,x,p);
}
}
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
void update(int p)
{
mx[p]=max(mx[ls],mx[rs]);
sum[p]=sum[ls]+sum[rs];
}
void merge(int &x,int y){x=max(x,y);}
void add(int &x,int y){x+=y;}
void modify(int x,int d)
{
x+=M;mx[x]=d,sum[x]=d;
while(x>>=1) update(x);
}
int getsum(int x,int y)
{
int ans=0;
for(x+=M-1,y+=M+1;x^y^1;x>>=1,y>>=1)
{
if(~x&1) add(ans,sum[x^1]);
if( y&1) add(ans,sum[y^1]);
}
return ans;
}
int getmx(int x,int y)
{
int ans=-1e9;
for(x+=M-1,y+=M+1;x^y^1;x>>=1,y>>=1)
{
if(~x&1) merge(ans,mx[x^1]);
if( y&1) merge(ans,mx[y^1]);
}
return ans;
}
void solve1(int x,int y)
{
if(x==y){printf("%d\n",mx[pos[x]+M]);return;}
int ans=-1e9;
while(top[x]^top[y])
{
if(dep[top[x]]>=dep[top[y]])
{
merge(ans,getmx(pos[top[x]],pos[x]));
x=fa[top[x]];
}
else
{
merge(ans,getmx(pos[top[y]],pos[y]));
y=fa[top[y]];
}
}
if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
merge(ans,getmx(pos[x],pos[y]));
printf("%d\n",ans);
}
void solve2(int x,int y)
{
if(x==y){printf("%d\n",sum[pos[x]+M]);return;}
int ans=0;
while(top[x]^top[y])
{
if(dep[top[x]]>=dep[top[y]])
{
add(ans,getsum(pos[top[x]],pos[x]));
x=fa[top[x]];
}
else
{
add(ans,getsum(pos[top[y]],pos[y]));
y=fa[top[y]];
}
}
if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
add(ans,getsum(pos[x],pos[y]));
printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
// freopen("count1.in","r",stdin);
// freopen("count1.out","w",stdout);
read(n);while(M<=n)M<<=1;
for(int i=1;i<n;i++)
{
int x,y;
read(x),read(y);
G[x].push_back(y);
G[y].push_back(x);
}dfs(1,0);dfs(1,0,1);
for(int i=1;i<=n;i++)
read(mx[pos[i]+M]),
sum[pos[i]+M]=mx[pos[i]+M];
for(int i=M-1;i>=1;i--) update(i);
read(q);
while(q--)
{
char tt;
int x,y;
while((tt=gc())!='H'&&tt!='M'&&tt!='S');
read(x),read(y);
if(tt=='H') modify(pos[x],y);
if(tt=='M') solve1(x,y);
if(tt=='S') solve2(x,y);
}
}
