Luogu P2179 [NOI2012]骑行川藏

题意

给定 \(n\) 个路段，每个路段用三个实数 \(s_i,k_i,v^\prime_i\) 描述，最小化

\[F(v_1,\cdots v_n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{s_i}{v_i} \]

其中 \(v_1,\cdots v_n\) 均为非负实数而且需要满足

\[\varphi(v_1,\cdots,v_n)=\sum\limits_{i=0}^{n}k_i(v_i-v^{\prime}_i)^2s_i-E_U=0 \]

\(\texttt{Data Range:}1\leq n\leq 1000\)

题解

拉格朗日乘子法。

我们来形象的讲一下这个东西到底是什么，你可能需要一些关于多元函数微积分的知识。

假设我们现在有一个二元函数 \(F(x,y)=x^2+y^2\)，需要求这个东西的最小值。

如果没有限制的话，最小值就是 \(0\)。但是我如果需要让 \(x,y\) 满足 \(x^2y=3\) 的话呢？

一个很显然的想法就是去逐一枚举一个最小值 \(r\)，然后看这个 \(r\) 满不满足条件。于是我们只需要看看 \(x^2y=3\) 和 \(x^2+y^2=r\) 是否相交。

注意到后者的图像是一个圆，从小到大枚举 \(r\) 的过程可以看做是圆的半径逐渐扩大。如果扩大到某个 \(r\) 刚好与 \(x^2y=3\) 相交了的话就可以取这个 \(r\) 作为最小值。

这里有一个 demo，拖动 \(r_0\) 的滑动条相当于是圆的半径逐渐扩大。注意到随着半径的扩大，圆与曲线的位置关系是先相离再相切最后相交。所以说，在极值点，圆与曲线相切。

注意到这些圆是可以看做 \(F(x,y)=x^2+y^2\) 的等高线的。注意到 \(\nabla F\)（也就是梯度）是等高线的法线。同时 另一个函数 \(G(x,y)=x^2y\) 的梯度向量 \(\nabla G\) 也会垂直于 \(x^2y=3\) 这条等高线。

因为梯度向量是等高线的法线，所以梯度与等高线的切线垂直。结合两个加粗的条件我们可以知道在相切点，圆的梯度向量和曲线的梯度向量平行。这个时候我们可以列方程了：

\[\nabla F=\lambda\nabla G \]

也就是说

\[\begin{cases}\frac{\partial F}{\partial x}=\lambda\frac{\partial G}{\partial x}\\\frac{\partial F}{\partial y}=\lambda\frac{\partial G}{\partial y}\\x^2y=3\end{cases} \]

解出来即可。

这个时候我们可以考虑构造约束函数 \(\varphi(x,y)=x^2y-3\)。由于 \(3\) 是常数在对任何一个变量求偏导数的时候都会消去所以不会对上面两个方程产生影响。

由于偏导数的可加性，我们增加一个新的变量 \(\lambda\) 并且将原来的函数写成这样：（也就是将等式的右边移到了左边）

\[F(x,y,\lambda)=F(x,y)+\lambda\varphi(x,y) \]

这个时候很容易看出对 \(F(x,y,\lambda)\) 求三个偏导数得到的方程与上面的方程组是一样的。

对于这个题目来说，构造函数

\[F(v_1,\cdots,v_n,\lambda)=F(v_1,\cdots,v_n)+\lambda\varphi(v_1,\cdots,v_n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{s_i}{v_i}+\lambda\left(\sum\limits_{i=0}^{n}k_i(v_i-v^{\prime}_i)^2s_i-E_U\right) \]

根据对称性我们可以很方便的求出这个东西对 \(v_i\) 和 \(\lambda\) 的偏导数：

\[\frac{\partial F}{\partial v_i}=2\lambda k_i(v_i-v^\prime_i)s_i-\frac{s_i}{v_i^2} \]

\[\frac{\partial F}{\partial \lambda}=\sum\limits_{i=0}^{n}k_i(v_i-v^\prime_i)^2s_i-E_U \]

按照上面讲的东西，这些偏导数都应该等于 \(0\) 的，所以得到两个方程：

\[2\lambda k_iv_i^2(v_i-v^\prime_i)=1 \]

\[\sum k_i(v_i-v^{\prime})^2s_i=E_U \]

将第一个方程移项得到

\[v_i^2(v_i-v^\prime_i)=\frac{1}{2\lambda k_i} \]

左边那个东西当 \(v_i\in [0,+\infty)\) 的时候通过对导数进行分析可以看出是单调递增的。

当 \(\lambda\) 固定的时候，\(v_i\uparrow\) 则等式左边 \(\uparrow\)。当 \(\lambda\uparrow\) 时，因为等式右边 \(\downarrow\)，所以 \(v_i\downarrow\)。因为 \(v_i>v^\prime_i\)，所以第二个等式的左边整体是 \(\downarrow\) 的。

于是我们可以考虑二分 \(\lambda\)，然后二分解出 \(v_i\) 利用第二个等式再 check 即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
typedef long long int li;
typedef long double db;
const ll MAXN=2e5+51;
const db eps=1e-12;
ll n;
db eu,l,r,mid,res;
db s[MAXN],kk[MAXN],v[MAXN],vl[MAXN];
inline ll read()
{
    register ll num=0,neg=1;
    register char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')
    {
        ch=getchar();
    }
    if(ch=='-')
    {
        neg=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        num=(num<<3)+(num<<1)+(ch-'0');
        ch=getchar();
    }
    return num*neg;
}
#define sqr(x) (x)*(x)
inline db calcDeriv(db lambda,db vel,ll x)
{
    return 2.0*lambda*kk[x]*sqr(vel)*(vel-v[x]);
}
inline ll check(db lambda)
{
    db e=0,l,r,mid;
    for(register int i=1;i<=n;i++)
    {
        l=max(v[i],0.0L),r=100000;
        while(l+eps<=r)
        {
            mid=(l+r)/2.0;
            calcDeriv(lambda,mid,i)<=1?l=mid:r=mid;
        }
        vl[i]=l,e+=kk[i]*sqr(vl[i]-v[i])*s[i];
    }
    return e<=eu;
}
int main()
{
    n=read(),scanf("%Lf",&eu),l=0,r=100000;
    for(register int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%Lf%Lf%Lf",&s[i],&kk[i],&v[i]);
    }
    while(l+eps<=r)
    {
        mid=(l+r)/2.0;
        check(mid)?r=mid:l=mid;
    }
    for(register int i=1;i<=n;i++)
    {
        res+=s[i]/vl[i];
    }
    printf("%.9Lf\n",res);
}