Luogu P3846 [TJOI2007] 可爱的质数/【模板】BSGS

题意

给定 \(y,z,p\)，求最小的正整数 \(x\) 满足 \(y^x\equiv z\bmod p\)，保证 \(p\) 是质数。

\(\texttt{Data Range:}2\leq y,z<p<^{31}\)

题解

BSGS 裸题。

这题其实我一年前就做过了，但是现在发现差点背不得 BSGS 了，所以重新写了一遍。

背 BSGS 其实只要掌握原理就好了。

首先考虑分块。令 \(x=am-b,m=\sqrt{p}\)，那么就有

\[y^{am}\equiv zy^b\pmod p \]

注意到由于 \(b\) 只有 \(\sqrt{b}\) 种取值方法，所以可以将所有可能的 \(zy^b\) 拿个哈希表存下来。

然后枚举 \(a\)，暴力查 \(y^{am}\) 在哈希表里有没有对应的值就好了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
typedef long long int li;
const ll MAXN=2e5+51;
unordered_map<ll,ll>hsh;
ll x,y,MOD,res;
inline ll read()
{
    register ll num=0,neg=1;
    register char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')
    {
        ch=getchar();
    }
    if(ch=='-')
    {
        neg=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        num=(num<<3)+(num<<1)+(ch-'0');
        ch=getchar();
    }
    return num*neg;
}
inline ll qpow(ll base,ll exponent)
{
    ll res=1;
    while(exponent)
    {
        if(exponent&1)
        {
            res=(li)res*base%MOD;
        }
        base=(li)base*base%MOD,exponent>>=1;
    }
    return res;
}
inline ll find(ll x)
{
    return hsh.find(x)==hsh.end()?-1:hsh[x];
}
inline ll BSGS(ll base,ll res)
{
    ll blk=sqrt(MOD)+1,v=(res%=MOD),x;
    hsh.clear(),base%=MOD;
    for(register int i=0;i<=blk;i++)
    {
        hsh[v]=i,v=(li)v*base%MOD;
    }
    base=qpow(base,blk),v=1;
    if(!base)
    {
        return !res?1:-1;
    }
    for(register int i=0;i<=blk;i++)
    {
        x=find(v),v=(li)v*base%MOD;
        if(x>=0&&i*blk-x>=0)
        {
            return i*blk-x;
        }
    }
    return -1;
}
int main()
{
    MOD=read(),x=read(),y=read(),res=BSGS(x,y);
    res==-1?puts("no solution"):printf("%d\n",res);
}