解题报告——论对“数位 dp”的新理解

解题报告——论对“数位 $dp$”的新理解

以前我总是对这个东西心存畏惧，但是今天打了一道题之后发现它好像不是那么难以理解。我们一步一步剖析它。

首先，数位 $dp$ 是什么？给定一个区间 $[L,R]$，求区间内满足某些条件的数的数量。这些条件通常跟数位有关，我们务必要把这个数拆开。

题目提问说让我们求 $[L,R]$ 之间满足条件的数的数量，我们何不把它看成 $[0,R]$ 之间满足条件的数的数量减去 $[0,L-1]$ 之间满足条件的数的数量？这就是数位 $dp$ 的第一步。

第二步，我们把数一个一个往上数，比如从 $2000\sim 2999,3000\sim 3999,4000\sim 4999$，这样 $000\sim 999$ 就数了三遍，这很明显是可以优化的。我们已经深入到了数位 $dp$ 的核心。

第三步，数位 $dp$ 的状态设置。最朴素的数位 $dp$ 一般只会设置一个量，就是 $f_{dep}$，其中 $dep$ 表示第几位。但是根据题目情况的不同，为了满足条件，我们一般设置多个量，其中一个是 $dep$，另外一大堆就视题目而定了。

第四步，数位 $dp$ 的实现方式。由于是数位 $dp$，要一位一位地 $dp$，我们一般采用记忆化搜索的方式一位一位往下搜。那么搜索的时候又应该设置什么量呢？除了前面状态表示中的一堆量，我们还要额外设置两个特殊的 $\mathtt{\text{bool}}$ 量：一个 $lim$ 用来记录是否顶到上界，一个 $lead$ 用来记录当前位是否是前导零。这两个量的实际用处视题目不同而不同，但是一般都要设置。此处额外提醒，如果 $lim$ 或者 $lead$ 是 $\mathtt{\text{true}}$，那么当前状态得到的 $dp$ 结果不能记录入 $f$ 数组中。

第五步，规范一下代码吧。数位 $dp$ 一般分几块来写，条理清晰：

• 边界条件。比如，$dep=0$，搜到最后一位外面去了。
• 记忆化。如果当前状态的 $lim$ 和 $lead$ 都是 $\mathtt{\text{false}}$ 并且当前位置对应的 $f$ 已经有值了，就直接返回。
• 向下搜索。这是最重要的一步，由当前状态，往下递推，所有状态都会因为这个增加的数而发生变化。
• 存储答案。特别的，如果 $lim$ 或者 $lead$ 是 $\mathtt{\text{true}}$，不能存储答案。

最后说一个遇到的易错点。如果题目问话只给上界，一定要看下界是 $1$ 还是 $0$。大多数数位 $dp$ 过程中都会把 $i=0$ 的情况算入答案，这个时候要考虑一下是否要去掉。

这种数位 $dp$ 入门题，曾经能够卡我 $3$ 个小时，今天往后不会了。但是有一说一，也正是这道题让我悟出了数位 $dp$ 的核心。