解题报告-论对“匹配”的新理解

解题报告-论对“匹配”的新理解

本题属于是一个新思维的开发方式，可以认为是思维上的 \(\texttt{Trick}\)，可以在以后做题的时候起到一个告诫警示的作用。

二分图匹配，就是我们最常遇到的匹配。而在遇到其他匹配问题的时候，如果二分图匹配的复杂度不足以通过，那么一定有一些其他的规律和额外的技巧来通过这道题。

这道题就是一个示例。晃了一眼，下面还有一道几乎一样的匹配题。

题目描述：给定 \(n\) 个区间和 \(m\) 个点，每个区间只能和在其区间内的一个点匹配，求最大匹配。

第一眼，这是一个二分图匹配，然后看到 \(n,m\le 10^5\) 直接老实了。

我到这里就完全没思路了，看了题解的结论才把中间的思维过程勉强补齐：

他为什么出的是一个序列，而不是普通的点？这里体现一个重要思想：不是所有题都要建出所有边的。（这在 \(O(n^2)\) 条边的图中的最小生成树尤有体现。）

二分图的匹配用了一些贪心的思想，只不过是反向贪心，没了一个换一个就是了。那么这样的匹配是不是也能用贪心的思想呢？

贪心：满足包含某个点的区间有很多，但是真的是__每一个__都要去遍历吗？__贪心得到__我们要尽量选包含其它点尽量少的，尽量不干扰其它点。所以把点从小到大排序后，尽量在所有满足条件的区间中选左端点最靠左的。而为什么二分图不能这样做？因为二分图不具有以上属性，连个贪心的方向都没有。

以上示例告诫我们：板子之外就只剩板子的思想了，高分暴力就是这样诞生的。序列上的匹配——以及其他奇奇怪怪的 \(O(n^2)\) 状物——都需要转变，都需要找出新的性质。只套板子，不思考题目为什么不按照板子的模式出，是没有高分的。