AtCoder Beginner Contest 205

比赛链接：https://atcoder.jp/contests/abc205

A - kcal

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout << fixed << setprecision(15);
    double a, b;
    cin >> a >> b;
    cout << a * b / 100 << "\n";
    return 0;
}

B - Permutation Check

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n;
    cin >> n;
    vector<bool> have(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        --x;
        have[x] = true;
    }
    cout << (count(have.begin(), have.end(), true) == n ? "Yes" : "No") << "\n";
    return 0;
}

C - POW

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    auto cal = [](int a, int b) {
        return a > b ? '>' : (a == b ? '=' : '<');
    };
    cout << (c % 2 == 0 ? cal(abs(a), abs(b)) : cal(a, b)) << "\n";
    return 0;
}

D - Kth Excluded

题意

从小到大给出 \(n\) 个正整数，问这些数外的第 \(k\) 大正整数。

题解

计算第 \(i\) 个数对当前位最小值 \(i\) 的溢出情况，二分第一个溢出不小于 \(k\) 的位置，取前面的数及其溢出情况即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n, q;
    cin >> n >> q;
    vector<long long> a(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    vector<long long> exceed(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        exceed[i] = a[i] - i;
    }
    while (q--) {
        long long k;
        cin >> k;
        int pos = lower_bound(exceed.begin(), exceed.end(), k) - exceed.begin();
        cout << a[pos - 1] + (k - exceed[pos - 1]) << "\n";
    }
    return 0;
}

E - White and Black Balls

题意

有 \(n\) 个白球和 \(m\) 个黑球，现要将这些球排成一排，要求

• 在所有长度的前缀中，白球的个数均不多于黑球 \(k\) 个

问有多少种排列方式。

题解

与 CF1536C 的思想类似，将球的添加视作平面上点的移动，不妨将白球看作纵坐标 \(y\) ，黑球看作横坐标 \(x\) ，本题即从 \((0, 0)\) 到 \((m, n)\) 的移动过程，共有 \(C_{m + n}^{m}\) 种排列方式。

又有 \(y \le x + k\) ，即：

因为不合法的情况（路径）一定会与 \(y = x + k + 1\) 有交点，不妨将 \((0, 0)\) 关于该直线对称，得到点 \((- k - 1, k + 1)\) ，不合法的情况即转化为从 \((- k - 1, k + 1)\) 移动到 \((m, n)\) 的情况，共有 \(C_{m + n}^{m + k + 1}\) 种情况。

综上，除去一开始白球比黑球多 \(k\) 个无解的情况，答案为 \(C_{m + n}^{m} - C_{m + n}^{m + k + 1}\) 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int N = 2e6 + 10;
constexpr int MOD = 1e9 + 7;

int fac[N], inv[N];

int binpow(int a, int b) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = 1LL * res * a % MOD;
        a = 1LL * a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int C(int n, int m){
    if(m < 0 or m > n) return 0;
    return 1LL * fac[n] * inv[m] % MOD * inv[n - m] % MOD;
}

void Init(){
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++) fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * i % MOD;
    inv[N - 1] = binpow(fac[N - 1], MOD - 2);
    for (int i = N - 2; i >= 0; i--) inv[i] = 1LL * inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    Init();
    int n, m, k;
    cin >> n >> m >> k;
    if (n - m > k) {
        cout << 0 << "\n";
    } else {
        cout << (C(m + n, m) - C(m + n, m + k + 1) + MOD) % MOD << "\n";
    }
    return 0;
}

F - Grid and Tokens

题意

给出一个 \(h \times w\) 的网格，有 \(n\) 个人，第 \(i\) 个人可以选择 \(a_i \sim c_i\) 行 \(b_i \sim d_i\) 列中的某个网格，一个网格只能被一个人选择，问最多有多少人可以都选到一个网格。

题解

将问题转化为最大流问题，每个人可选择一个网格即转化为容量为 \(1\) 的边 \((u_i, v_i)\) ，可选择的行即转化为 \(u_i\) 前的结点 \(r_{a_i \sim c_i}\) ，可选择的列即转化为 \(v_i\) 后的结点 \(c_{b_i \sim d_i}\) ，多人可选择即转化为 \(r_i\) 前的超级源点 \(src\) ， \(c_i\) 后的超级汇点 \(dst\) ，两者间的最大流即最多有多少人可以都选到一个网格。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <atcoder/maxflow>
using namespace std;
using namespace atcoder;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int h, w, n;
    cin >> h >> w >> n;
    map<int, int> row, col, u, v;
    for (int i = 0; i < h; i++) {
        row[i] = i + 1;
    }
    for (int i = 0; i < w; i++) {
        col[i] = i + 1 + h;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        u[i] = i + 1 + h + w;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        v[i] = i + 1 + h + w + n;
    }
    int src = 0, dst = h + w + 2 * n + 1;
    mf_graph<int> graph(dst + 1);
    for (int i = 0; i < h; i++) {
        graph.add_edge(src, row[i], 1);
    }
    for (int i = 0; i < w; i++) {
        graph.add_edge(col[i], dst, 1);
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int a, b, c, d;
        cin >> a >> b >> c >> d;
        --a, --b;
        graph.add_edge(u[i], v[i], 1);
        for (int j = a; j < c; j++) {
            graph.add_edge(row[j], u[i], 1);
        }
        for (int j = b; j < d; j++) {
            graph.add_edge(v[i], col[j], 1);
        }
    }
    cout << graph.flow(src, dst) << "\n";
    return 0;
}

参考

D：

https://atcoder.jp/contests/abc205/editorial/2079

E：

https://atcoder.jp/contests/abc205/editorial/2080

F：

https://atcoder.jp/contests/abc205/editorial/2081

https://codeforces.com/blog/entry/91733?#comment-803511

后记

三门大作业和一堆实验终于都做完啦ヽ(✿ﾟ▽ﾟ)ノ

剩下的就只剩在充裕的时间里复习准备期末考试了，好耶（￣▽￣）

时间真是快啊，不知不觉学长学姐们都已经毕业了，祝学长学姐们学业有成，工作顺利 ~

明年这个时候就该自己啦 ╰(￣ω￣ｏ)