10.4 笔记

[NOIP2021] 方差

我的乱搞：

首先将序列做一个差分，一次操作实际上就是在交换差分数组的相邻两项。模随机化，每次随机交换两个元素，得分80.
再优化一下，把交换元素改为插入元素。由于要方差最小，而方差最小的序列差分一定是先下降后上升的，而最优的交换方案一定是将序列下降一侧的元素插到上升一侧并且保持上升的一侧仍然保持上升的方案。
模拟退火，使用stl双端队列插入，吸氧跑得飞快。
再调一调参数，就可以A了。
code：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int maxn = 1e4+9;
using namespace std;

typedef deque<int>::iterator iter;
int a[maxn],b[maxn],mini=2147483647,n;
deque<int> que;
iter lpt,rpt;
ll ans;
string s = "214748364721474836472147483647214748364721474836472147483647217483647217483647";
int seed(){
	int res = 0;
	for(int i = 0;i < (int)s.length();i++){
		res += (int)s[i];
	}
	return res;
}
mt19937 rnd((int)seed());
void Init();
void Read(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0; i<n; i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i]*=n; 
	}
	for(int i=0; i<n-1; i++){
		b[i]=a[i+1]-a[i];
	}
	Init();
}
void Init(){
	sort(b,b+n-1);
	bool f=0;
	for(int i=0; i<n-1; i++){
		mini = min(mini,b[i]);
		if(f) que.push_front(b[i]);
		else que.push_back(b[i]);
		f = !f;
	}
	f=0;
	for(int i=0; i<n-1; i++){
		if(que[i]==mini){
			if(!f){
				lpt = que.begin()+i;
				rpt = que.begin()+i;
				f=1;
			} else {
				rpt = que.begin()+i;
			}
		}
	}
}
ll calc(){
	ll sum=0,cur=0,pj,fc;
	for(int solo : que){
		cur += solo;sum += cur;
	}
	pj = sum/n;
	fc = pow(pj,2);
	cur = 0;
	for(int solo : que){
		cur += solo;fc += pow(cur-pj,2);
	}
	return fc/n;
}
void SA(){
	double T = 3e3;
	ll now=ans,newans,de;
	int rndsize = n-1-(rpt-lpt+1),val,len=rpt-lpt+1;
	iter A;
	while(T>1e-5){
		for(int i=0; i<n-1; i++){
			if(que[i] == mini){
				lpt = que.begin()+i;rpt = lpt+len-1;
				break;
			}
		}
		deque<int> tmp = que;
		A = que.begin()+(rnd()%rndsize);
		if(A >= lpt){ 
			A += len;val = *A;
			que.erase(A);
			iter now = que.begin();
			while(*now > val) now++;
			que.insert(now,val);
		} else { 
			val = *A;
			que.erase(A);
			iter now = que.end();
			while(*(now-1) > val) {
				now--;
			}
			que.insert(now,val);
		}
		newans = calc(); de=newans-now;
		if(de<0 || exp(-de/T)*2147483647*2>rnd()) {
			ans = min(ans,newans);
			now = newans;
			
		} else que = tmp;
		T*=0.97;
	}
}
int main(){
	Read();
	ans = calc();
	if(rpt-lpt+1 == n-1) printf("%lld",ans);
	else {
		clock_t s = clock();
		SA();
		clock_t len = clock()-s, limit = CLOCKS_PER_SEC*0.975;
		while(clock()+len < limit) SA();
		printf("%lld",ans);
	}
	return 0;
}

再讲正解
初中老师曾经没讲过，方差的一种计算方式是平方的期望减去期望的平方，也就是：