2024/9 4-8 笔记

[CCO2017] 接雨滴

题目描述

晚上，夜黑风高，大雨疯狂地从天而降。

Lucy 想要接住一些雨滴，但她只有有限的工具。她有一套不同高度的柱子来接住雨滴。每根柱子的高度为整数，宽度为 $1$。她排列好柱子之后，就会用其他器具夹紧柱子，来让雨滴顺利地储存在柱子的间隙里。你可以认为雨滴的数量是无限的。

举个例子，如果 Lucy 有高度分别为 $(1,5,2,1,4)$ 的五根柱子，她可以这样排列柱子。

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这样会接住 $5r$ 雨滴（$r$ 代表 $1$ 个单位的雨滴）。

为了方便表述，我们定义 $r$ 为雨滴的单位。

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 *RR*
 **R*
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当然了，她也可以这样摆放柱子，这样可以接住 $6r$ 雨滴。

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 *RR*
 *RR*
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再举一个例子，如果柱子的高度分别为 $(5,1,5,1,5)$，Lucy 可以接住 $8r$ 雨滴。

*R*R*
*R*R*
*R*R*
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最后一个例子，如果柱子的高度分别为 $(5,1,4,1,5)$，她可以接住 $9r$ 雨滴。

*RRR*
*R*R*
*R*R*
*R*R*
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Lucy 有 $n$ 个高度为 $h_1,h_2,...,h_n$ 的柱子。她想知道，在所有可能的摆放方案中，所有可能的雨滴量（以 $r$ 为单位）是多少。（具体可看样例解释）

slove

结论：对于某个柱子 x 上方的积水体积，可能产生的所有体积都是合法的。

证明：

首先，形成积水肯定需要两个高柱子，即最高柱和次高柱。我们先放好。接着，我们要插入一个柱子$x$，考虑$x$上方能增加多少积水体积。

1）若我们想让x上方没有积水

我们找到柱子$y$，使得$Hy<=Hx$，$Hy$最小并且y上方没有积水。
我们再找一个比$y$更高的柱子$z$

https://excalidraw.com/
将$x$插在$y$和$z$之间且紧贴着$z$。

因为我们找到的 $y$ 是所有高度不大于 $x$ 号柱子、且上方没有积水的柱子里最低的那一个，因此 $z$ 高度一定大于等于 $x$ （不然找到的就该是 $z$ 了），于是这么插入不会产生新的积水。

在$y$存在的情况下，由于有最高峰，所以$z$一定存在。如果y不存在，那么不被积水覆盖的柱子都比x高，直接把x放在边界。

因此，一定有一种方案使得插入x后总共先不变。

2)设有一个比他高的柱子$y$，要使得总贡献增加$(a{}_y-a{}_x)$

1.如果y没有被积水覆盖

除非$y$是最高峰，一定可以插到y的一侧满足总贡献增加$(a{}_y-a{}_x)$

2.如果$y$被覆盖了。

找到一个离$y$最近的，最低的且没有被积水覆盖的柱子$z$.

我们把$y$换为$x$，贡献变为了$(a{}_y-a{}_x)$, 把$y$抽出来，按照1)处理即可。

3)如果$y$未被插入，从大到小插入就可以。

综上，对于某个柱子 $x$上方的积水体积，可能产生的所有体积都是合法的。

背包转移，bitset优化。

using namespace std;

const int maxN=5e2+5,maxH=5e1+5;

int a[maxN];
bitset<maxN*maxH>dp,tem;

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    sort(a+1,a+1+n);
    dp[0]=true;
    for(int j=1;j<n;++j)
    {
        for(int st=j+1;st<n;++st)
        {
            tem|=(dp<<(a[st]-a[j]));
        }
        dp|=tem;
    }
    for(int i=0;i<=25000;++i)
    {
        if(dp[i])
        {
            printf("%d ",i);
        }
    }
}