【Note】矩阵加速

感谢 $\text{tidongCrazy}$ 倾情授课。

目录

• 基本形式
• 基础习题
  • P1962 斐波那契数列（例题）
  • P4838 P哥破解密码（矩阵加速）
• 稍微up
  • P1397 [NOI2013] 矩阵游戏（矩阵加速）
  • P3216 [HNOI2011]数学作业（矩阵加速）
• 图论$\times$矩阵
  • P2233 [HNOI2002]公交车路线（图论与矩阵结合）
  • P2151 [SDOI2009] HH去散步（有限制的路径计数）
  • P4159 [SCOI2009] 迷路（图论中邻接矩阵的巧妙转化）
• 分组矩阵
  • P2579 [ZJOI2005]沼泽鳄鱼（分组矩阵优化）
  • P3821 Isaac（分组矩阵优化）
• 矩阵乘法变形
  • P5678 [GZOI2017]河神（矩阵乘法变形）
  • CF576D Flights for Regular Customers（矩阵乘法优化）
  • P6569 [NOI Online #3 提高组] 魔法值（矩阵乘法变形+优化）
    • 关于矩阵乘法结合律的证明（sun123zxy）
    • 光速幂
• 杂记
  • D - Binary Representations and Queries
  • P7453 [THUSCH2017] 大魔法师
• 矩阵运算律
  • 矩阵线性运算
    • (1) 矩阵加法
    • (2) 矩阵数乘
  • 矩阵乘法

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基本形式

$$f_i=k_1{f}_{i-a_1}+k_2{f}_{i-a_2}+\cdots +g(i)$$

把递推需要用到的项全部存进矩阵里面，固定的系数则放在转移矩阵里面。最后的那个$g$，其实可以认为是另外一个（或者多个）递推数列，它涉及了$f$的转移，于是一起放在矩阵里面，并且它也实时转移更新着。

比如转移项里面可以有$3^n$，$n$。$3^n$到$3^{n+1}$的转移只需要带个系数$3$，而$n$到$n+1$的转移，我们需要多带一列$1$。

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基础习题

最简单的一维多阶递推。

P1962 斐波那契数列（例题）

P4838 P哥破解密码（矩阵加速）

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稍微up

P1397 [NOI2013] 矩阵游戏（矩阵加速）

处理每一行递推到最后的矩阵，加一个从这一行末尾递推到下一行第一个位置的矩阵，对这个组合快速幂。

P3216 [HNOI2011]数学作业（矩阵加速）

$$f_i=f_{i-1}\times {10}^{T(i)}+i$$

发现这个$T(i)$不好处理，看看$n$才${10}^{18}$，直接跑$18$个不同的矩阵。

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图论$\times$矩阵

大致做法是这样的。在一个图里面跑，题目涉及的路径长度非常大的时候适用。

由$t-1$阶的答案扩展到$t$阶的答案，需要多扩展一条边。设$f_{i,j}^t$表示$i->j$，走$t$步的方案数。则

$$f_{i,j}^t=f_{i,k}^{t-1}\times f_{k,j}^1$$

跟矩乘的形式相符，可以以$1$阶矩阵为转移矩阵爆加速。

另一个理解则是，这个$1$阶的$01$矩阵是该图的邻接矩阵，当$k->j$有连边时，就能为$f_{i,j}^t$贡献$f_{i,k}^{t-1}$的方案数。

P2233 [HNOI2002]公交车路线（图论与矩阵结合）

P2151 [SDOI2009] HH去散步（有限制的路径计数）

这个限制的做法是，把一条边拆成两个点（表示双向的边）。做完了（

P4159 [SCOI2009] 迷路（图论中邻接矩阵的巧妙转化）

这个边权最多只有$9$，那我们存储相邻$9$阶的信息到一个矩阵里。

...........等一下，这样能做么...

题解给的方法是把一条边暴拆成双向各九个，没了（

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分组矩阵

矩阵变化的周期很小，把周期内的每个矩阵处理出来，合在一起快速幂就行了。

P2579 [ZJOI2005]沼泽鳄鱼（分组矩阵优化）

P3821 Isaac（分组矩阵优化）

相比上一题加个二分就好啦。

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矩阵乘法变形

P5678 [GZOI2017]河神（矩阵乘法变形）

这俩运算符性质很好，看看下面矩阵乘法结合律的证明吧。

注意与运算的单位是$111111111$（

CF576D Flights for Regular Customers（矩阵乘法优化）

按$d_i$排序，每次跑到下一个$d_i$就加边改矩阵。

由于只需要可行性，可以改成$01$，位运算，然后bitset压一下。

怎么还有题需要bitset卡个64的

P6569 [NOI Online #3 提高组] 魔法值（矩阵乘法变形+优化）

关于矩阵乘法结合律的证明（sun123zxy）

与和或运算显然是满足的。

然后就是这题奇怪的优化，像我这种从来把$log$当作不存在的人就已经寄了。

光速幂

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杂记

还可以做类似一个结构体内，一些变量相互加减之类变化的运算。

D - Binary Representations and Queries

第一步结论我甚至暂时不会证。

后一步则是让两个元素一一对应的集合（其实就是一对一对的），每次让一边元素加上另一边与之对应元素的值。

这个只是矩阵乘法，而不是矩阵加速（

P7453 [THUSCH2017] 大魔法师

又想提一嘴矩阵的运算律，我一直没搞得比较清楚。

矩阵运算律

矩阵线性运算

(1) 矩阵加法

交换律：$A+B=B+A$

结合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$

(2) 矩阵数乘

结合律：$\lambda \mu A=\lambda (\mu A)$

分配率 $1$：$\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

分配率 $2$：$(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$

矩阵乘法

结合律 $1$：$(AB)C=A(BC)$

结合律 $2$：$\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$

分配率：$A(B+C)=AB+AC$，$(B+C)A=BA+CA$

这题是在线段树上做区间乘矩阵，区间覆盖，区间加，区间乘。后三个运算分别对矩阵不同对象。

满足了上述一系列优秀的性质，来考虑怎么打 $tag$。

回归最一般的线段树区间乘与区间加。

比如标记 该节点需要先 $\times a$ 再 $+b$，子节点已有的标记是需要先 $\times c$ 再 $+d$，那么子节点：

$$\begin{array}{rl}E& =(E\times c+d)\times a+b\\ & =E\times (c\times a)+d\times a+b\end{array}$$

那么子节点的 $c$ 就该变成 $c\times a$， $d$ 变成 $d\times a+b$。

类比标记打法：该节点需要 $\times P$ 后分别 $\times v,+k,$覆盖

一种方法是拆成乘与加矩阵（$3\times 3$ 矩阵），另一种是全部拆成乘矩阵。后者（$4\times 4$ 矩阵，加了一列常数项）应该是好写很多的，但不知道会不会复杂度爆炸（

哦我草，$5s$ 啊，那没事了，我傻逼了，比上面那个还好写（？）