【Note】矩阵加速
感谢
基本形式
把递推需要用到的项全部存进矩阵里面,固定的系数则放在转移矩阵里面。最后的那个
比如转移项里面可以有
基础习题
最简单的一维多阶递推。
P1962 斐波那契数列(例题)
P4838 P哥破解密码(矩阵加速)
稍微up
P1397 [NOI2013] 矩阵游戏(矩阵加速)
处理每一行递推到最后的矩阵,加一个从这一行末尾递推到下一行第一个位置的矩阵,对这个组合快速幂。
P3216 [HNOI2011]数学作业(矩阵加速)
发现这个
图论 矩阵
大致做法是这样的。在一个图里面跑,题目涉及的路径长度非常大的时候适用。
由
跟矩乘的形式相符,可以以
另一个理解则是,这个
P2233 [HNOI2002]公交车路线(图论与矩阵结合)
P2151 [SDOI2009] HH去散步(有限制的路径计数)
这个限制的做法是,把一条边拆成两个点(表示双向的边)。做完了(
P4159 [SCOI2009] 迷路(图论中邻接矩阵的巧妙转化)
这个边权最多只有
...........等一下,这样能做么...
题解给的方法是把一条边暴拆成双向各九个,没了(
分组矩阵
矩阵变化的周期很小,把周期内的每个矩阵处理出来,合在一起快速幂就行了。
P2579 [ZJOI2005]沼泽鳄鱼(分组矩阵优化)
P3821 Isaac(分组矩阵优化)
相比上一题加个二分就好啦。
矩阵乘法变形
P5678 [GZOI2017]河神(矩阵乘法变形)
这俩运算符性质很好,看看下面矩阵乘法结合律的证明吧。
注意与运算的单位是
CF576D Flights for Regular Customers(矩阵乘法优化)
按
由于只需要可行性,可以改成
怎么还有题需要bitset卡个64的
P6569 [NOI Online #3 提高组] 魔法值(矩阵乘法变形+优化)
关于矩阵乘法结合律的证明(sun123zxy)
与和或运算显然是满足的。
然后就是这题奇怪的优化,像我这种从来把
光速幂
杂记
还可以做类似一个结构体内,一些变量相互加减之类变化的运算。
D - Binary Representations and Queries
第一步结论我甚至暂时不会证。
后一步则是让两个元素一一对应的集合(其实就是一对一对的),每次让一边元素加上另一边与之对应元素的值。
这个只是矩阵乘法,而不是矩阵加速(
P7453 [THUSCH2017] 大魔法师
又想提一嘴矩阵的运算律,我一直没搞得比较清楚。
矩阵运算律
矩阵线性运算
(1) 矩阵加法
交换律:
结合律:
(2) 矩阵数乘
结合律:
分配率
分配率
矩阵乘法
结合律
结合律
分配率:
这题是在线段树上做区间乘矩阵,区间覆盖,区间加,区间乘。后三个运算分别对矩阵不同对象。
满足了上述一系列优秀的性质,来考虑怎么打
回归最一般的线段树区间乘与区间加。
比如标记 该节点需要先
那么子节点的
类比标记打法:该节点需要
一种方法是拆成乘与加矩阵(
哦我草,
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2021-11-04 「HNOI2016」序列