欧拉路与欧拉回路

@kaike

图论起源

图论起源于18世纪，1736年瑞士数学家欧拉（Euler）发表了图论的第一篇论文“哥尼斯堡七桥问题”。在当时的哥尼斯堡城有一条横贯全市的普雷格尔河，河中的两个岛与两岸用七座桥连结起来。当时那里的居民热衷于一个难题：有游人怎样不重复地走遍七桥，最后回到出发点。　为了解决这个问题，欧拉用A,B,C,D4个字母代替陆地，作为4个顶点，将联结两块陆地的桥用相应的线段表示，于是哥尼斯堡七桥问题就变成了图中，是否存在经过每条边一次且仅一次，经过所有的顶点的回路问题了。欧拉在论文中指出，这样的回路是不存在的。

一笔画

1.凡是有偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

2.凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。

3.奇点数/2 可以算出此图需几笔画成。

概念

欧拉通路（欧拉迹）：通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的通路。

欧拉回路（欧拉闭迹）：通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的回路。

欧拉图：存在欧拉回路的图。欧拉图就是从一顶点出发每条边恰通过一次又能回到出发顶点的图，即不重复的走遍所有的边再回到出发点。

回路：起点和终点相同的通路。

简单图：不含平行边和自回路。

混合图：既有有向边，也有无向边。

平凡图：仅有一个顶点的图。

完全图：有n个顶点且每对顶点都有边相连的无向简单图，称为 无向完全图 。有n个顶点且每对顶点之间都有两条方向相反的边相连的有向简单图，称为 有向完全图。

欧拉图的特征

无向图：a)有欧拉通路的条件为：G联通，G中只有两个奇点

b)有欧拉回路：G联通，均为偶点。

有向图：a)有欧拉通路：G联通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度，在两个特殊的点中，终点的入度比出度大1，起点的入度比出度小1

b)有欧拉回路：G联通，G中所有顶点的入度等于出度。一个有向图是欧拉图，仅当该图所有顶点度数为0。