Leetcode: Longest Valid Parentheses

Given a string containing just the characters '(' and ')', find the length of the longest valid (well-formed) parentheses substring.

For "(()", the longest valid parentheses substring is "()", which has length = 2.

Another example is ")()())", where the longest valid parentheses substring is "()()", which has length = 4.

分析：这里我们分析解决这道题的两种方法，一种是利用栈，另一种是动态规划。

1. 利用栈，时间复杂度O(n), 空间复杂度O(n)

在valid parentheses中，我们用最后栈是否为空，判断是否为valid parentheses。这里要求longest valid parentheses，我们要在valid parentheses的基础上做些改动。我们首先应该考虑的是，对于每一段valid parentheses，我们怎么记录它的长度，如果在遍历过程中求的每一段valid parentheses的长度，我们可以轻松的找出最长的。 通过观察可以发现，当前valid parentheses的长度为当前')'的index减去栈顶'('的index（此时与当前')'匹配的'('已被pop出）。如果当栈为空时，我们无法通过上述方法求的长度，此种情况，或者该valid parentheses段前面有')'或者前面没有任何字符，这两种情况我们可以通过记录上一次栈空时')'的index，然后当前')'的index减去上一次')'的index即为valid parentheses段的长度。代码如下：

class Solution {
public:
    int longestValidParentheses(string s) {
        int n = s.length();
        if(n == 0) return 0;
        int longest = 0, last = -1;//last is the index of last ')'
        stack<int> S;
        
        for(int i = 0; i < n; i++){
            if(s[i] == '(') S.push(i);
            else if(S.empty()){
                last = i;
            }else{
                S.pop();
                if(S.empty()) longest = max(longest, i - last);
                else longest = max(longest, i - S.top());
            }
        }
        return longest;
    }
};

2. 动态规划，时间复杂度O(n), 空间复杂度O(n)。

我们用f[i]记录在[i, n-1]段中从i开始的valid parentheses最大长度。递推公式如下：

if(i+f[i+1]+1 < n && s[i] == '(' && s[i+f[i+1]+1] == ')') f[i] = f[i+1] + 2 +(i+f[i+1] +2 < n)?f[i+f[i+1]+2]:0；otherwise f[i] = 0.

代码如下：

class Solution {
public:
int longestValidParentheses(string s) {
vector<int> f(s.size(), 0);
int ret = 0;
for (int i = s.size() - 2; i >= 0; --i) {
int match = i + f[i + 1] + 1;
// case: "((...))"
if (s[i] == '(' && match < s.size() && s[match] == ')') {
f[i] = f[i + 1] + 2;
// if a valid sequence exist afterwards "((...))()"
if (match + 1 < s.size()) f[i] += f[match + 1];
}
ret = max(ret, f[i]);
}
return ret;
}
};