Triangle

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

 

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:
Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

分析：该题可以用暴力搜索的方式将所有path的和存在一个vector中，但这样的空间复杂度是O(2^n)。为了使空间复杂度降到O(n)，我们可以用动态规划里record的方式，这里的record我们只需记录到上一行每个位置path的最小sum，然后通过这个计算到本行每个位置path的最小sum。代码如下：

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        vector<int> pre_sum, cur_sum;
        pre_sum.push_back(triangle[0][0]);
        cur_sum.push_back(triangle[0][0]);
        for(int i = 1; i < triangle.size(); i++){
            cur_sum.clear();
            for(int j = 0; j < triangle[i].size(); j++){
                if(j == 0) cur_sum.push_back(pre_sum[0]+triangle[i][j]);
                else if(j == triangle[i].size()-1) cur_sum.push_back(pre_sum.back()+triangle[i][j]);
                else cur_sum.push_back(min(pre_sum[j-1]+triangle[i][j],pre_sum[j]+triangle[i][j]));
            }
            pre_sum = cur_sum;
        }
        return *min_element(cur_sum.begin(),cur_sum.end());
    }
};

 不过上面的方法仍不是最好的，虽然它利用了做备忘录的方式，但没有利用动态规划的方法，这道题用动态规划的方法解，更简洁，空间复杂度仅为O(1)。本题的递推公式很简单直接，f[i][j] = min(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + triangle[i][j]。由于在扫过triangle[i][j]后便不再用，我们可以用triangle做备忘录的数据结构，从而将空间复杂度降为O(1)。代码如下：

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        for (int i = triangle.size() - 2; i >= 0; --i)
            for (int j = 0; j < i + 1; ++j)
                triangle[i][j] += min(triangle[i + 1][j], triangle[i + 1][j + 1]);
        return triangle[0][0];
    }
};

递归方法，但超时：

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        if(triangle.size() == 0) return 0;
        return getMinSum(triangle, 0, 0);
    }
    int getMinSum(vector<vector<int> > &triangle, int i, int j){
        if(i == triangle.size()-1) return triangle[i][j];
        return min(getMinSum(triangle, i+1, j), getMinSum(triangle, i+1, j+1)) + triangle[i][j];
    }
    
};