数制与编码--数码和字符的代码表示

1.十进制数的二进制编码

1.1 8421 BCD码

简称8421码，按4位二进制数的自然顺序，取前10个数依次表示十进制的0-9，后6个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。8421码是一种有权码，每位有固定的权，从高到低依次为8，4，2，1，如：8421码0111=$0\times8+1\times4+1\times2+1\times1=7$

8421码的特点：
(1)与四位二进制数的表示完全一样
(2)1010-1111为冗余码
(3)8421码与十进制码的转换关系为直接转换关系，例：${0001 0011.0110 0100}_{8421BCD}={13.64}_{10}$
(4)运算时按逢10进1的原则，并且要进行调整。调整原则：有进位或出现冗余码时，加法+6调整，减法-6调整

1.2 余三码

余三码由8421码加3形成。特点：
(1)是一种无权码
(2)有6个冗余码(0000、0001、0010、1101、1110、1111)
(3)对9的自补码。例如：${4}_{余三码}=0111$,${5}_{余三码}=1000$,${0111}_{9补}=1000$，即0111按位取反
(4)如果两个余3码相加没有进位，则和数要减3，否则和数要加3

1.3 2421 BCD码

简称2421码。按4位二进制数的自然顺序，取前8个数依次表示十进制的0～7，8和9分别为1110和1111。其余6个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。这只是2421码的一种编码方案。 2421码是一种有权码，每位有固定的权，从高到低依次为2，4，2，1，如：
2421码0111=$0\times2+1\times4+1\times2+1\times1=7$
2421码1110=$1\times2+1\times4+1\times2+0\times1=8$

1.4 几种常见的十进制代码

2.可靠性编码

能减少错误，发现错误，甚至纠正错误的编码称为可靠性编码。

2.1 格雷码

在一组数的编码中，如果任意相邻的代码只有一位二进制数不同，即为格雷码。
典型二进制格雷码编码规则：
$\begin{cases}{G}_{n-1}={B}_{n-1} \\{G}_{i}={B}_{i}\bigoplus{B}_{i+1}\end{cases}$
例如13的格雷码：
1 1 0 1
$\downarrow$$\searrow$$\downarrow$$\searrow$$\downarrow$$\searrow$$\downarrow$
 $\bigoplus$ $\bigoplus$ $\bigoplus$
$\downarrow$ $\downarrow$ $\downarrow$ $\downarrow$
1 0 1 1
典型二进制格雷码转换成二进制数的方法:
$\begin{cases}{B}_{n-1}={G}_{n-1} \\{B}_{i}={B}_{i+1}\bigoplus{G}_{i}\end{cases}$
例如7的典型格雷码为0100
0 1 0 0
$\downarrow$ $\downarrow$ $\downarrow$ $\downarrow$
 $\bigoplus$ $\bigoplus$ $\bigoplus$
$\downarrow$$\nearrow$$\downarrow$$\nearrow$$\downarrow$$\nearrow$$\downarrow$
0 1 1 1
格雷码与二进制代码的比较

2.2 奇偶校验码

由信息位和校验位(冗余部分)两部分组成。校验位的取值可使整个校验码中的1的个数按事先的规完成为奇数或偶数。奇偶校验码可发现奇数位错误，但是不能知道是哪一位出错，不能发现偶数位错误。

2.3 海明码

可以检验一位错误并且可以定位的可靠性编码。
结构：信息位(4位)+校验位(3位) （以BCD码为例)
组织：I4 I3 I2 P3 I1 P2 P1
校验规则：$\begin{cases}{P3}={I4}\bigoplus{I3}\bigoplus{I2} \\{P2}={I4}\bigoplus{I3}\bigoplus{I1} \\{P1}={I4}\bigoplus{I2}\bigoplus{I1}\end{cases}$
例：求0100的海明码
P3=1,P2=1,P1=0,组织为0101(P3)01(P2)0(P1)
海明码校验和：$\begin{cases}{S2}={I4}\bigoplus{I3}\bigoplus{I2}\bigoplus{P3} \\{S1}={I4}\bigoplus{I3}\bigoplus{I1}\bigoplus{P2} \\{S0}={I4}\bigoplus{I2}\bigoplus{I1}\bigoplus{P1}\end{cases}$
$S_i=0$无错，$S_i=1$出错。（i=0，1，2）
海明码错误定位:$S_2$$S_1$$S_0$为000说明无错,$S_2$$S_1$$S_0$为111至001表明一位出错位置。
例：0 0 0 1 1 1 0
  $I_4$ $I_3$ $I_2$ $P_3$ $I_1$ $P_2$ $P_1$
易得$S_2=1$，$S_1=0$，$S_0=1$，说明第五位出错，即$I_2$出错
海明码信息位与校验位的关系： ${2^k}\geq{k+n+1}$，其中$2^k$表示海明码位数+1，k为校验位位数，n为信息位位数。

 

 

 

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本文作者：神楽桜KaguraSakura
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