Range Add Query

题目链接

题目描述：

You are given an integer sequence of length $N$, $A=(A_1,A_2,\dots ,A_N)$, and a positive integer $K$.

For each $i=1,2,\dots ,Q$, determine whether a contiguous subsequence of $A,(A_{l_i},A_{l_i+1},\dots ,A_{r_i})$, is a good sequence.

Here, a sequence of length $n$, $X=(X_1,X_2,\dots ,X_n)$, is good if and only if there is a way to perform the operation below some number of times (possibly zero) to make all elements of $X$ equal $0$.

• Choose an integer $i$ such that $1\le i\le n-K+1$ and an integer $c$ (possibly negative). Add $c$ to each of the $K$ elements $X_i,X_{i+1},\dots ,X_{i+K-1}$.

It is guaranteed that $r_i-l_i+1\ge K$ for every $i=1,2,\dots ,Q$.

• $1\le N\le 2\times {10}^5$
• $1\le K\le min\left\{\begin{array}{c}10,N\end{array}\right\}$
• $-{10}^9\le A_i\le {10}^9$
• $1\le Q\le 2\times {10}^5$
• $1\le l_i,r_i\le N$
• $r_i-l_i+1\ge K$
• All values in the input are integers.

输入描述：

$NK$

$A_1{A}_2...A_N$

$Q$

$l_1{r}_1$

$l_2{r}_2$

$⋮$

$l_Q{r}_Q$

输出描述：

Print $Q$ lines. For each $i=1,2,\dots ,Q$, the $i$-th line should contain Yes if the sequence $(A_{l_i},A_{l_{i+1}},\dots ,A_{r_i})$ is good, and No otherwise.

样例1：

input:

7 3
3 -1 1 -2 2 0 5
2
1 6
2 7

output:

Yes
No

The sequence $X:=(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6)=(3,-1,1,-2,2,0)$ is good. Indeed, you can do the following to make all elements equal $0$.

• First, do the operation with $i=2,c=4$, making $X=(3,3,5,2,2,0)$.

• Next, do the operation with $i=3,c=-2$, making $X=(3,3,3,0,0,0)$.

• Finally, do the operation with $i=1,c=-3$, making $X=(0,0,0,0,0,0)$.

Thus, the first line should contain Yes.

On the other hand, for the sequence $(A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7)=(-1,1,-2,2,0,5)$, there is no way to make all elements equal $0$, so it is not a good sequence. Thus, the second line should contain No.

样例2：

input:

20 4
-19 -66 -99 16 18 33 32 28 26 11 12 0 -16 4 21 21 37 17 55 -19
5
13 16
4 11
3 12
13 18
4 10

output:

No
Yes
No
Yes
No

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
// 这个题可以通过一般形式来找规律
// 假设K = 3，有七个数A, B, C, D, E, F, G
// 假设N = 3，因为要让所有数都变为0，所以可以先让A变为0
// 所以操作后就变成0,B - A, C - A, 若是一个good数组，则此时B - A = 0 = C - A,得A = B = C
// 假设N = 4,一次操作后为0, B - A, C - A, D,第二次操作后为0, 0, C - B, A + D - B
// 此时可得C - B = 0 = A + D - B,即A + D = B = C
// 同理可得N = 5时，A + D = C = B + E
// 通过观察不难发现只要对于N个数，其不同下标i对K取模相等的数的和相同，那么就可以是一个good数组
// 或者不用找规律的方式来想
// 依旧是从前往后依次操作，如果是good数组，那么最后肯定会全是0，否则最后肯定会有某些数不是0
// 可以发现每次操作都会将下标对K取模为0 ~ K - 1这K个数大小同时改变，且改变的数值大小相同
// 那么也就是说不同下标i对K取模相等的数的和的大小也是同时发生改变，且改变数值大小相同
// 所以在最后一次操作的过程中，如果是good数组，那么最后所有数都变成0，和也变成0
// 如果最后某些数不是0，那么这些数的坐标i对K取模相等的数的和也不会是0
// 那么根据第16行分析可知，只有可能是因为和的大小和其他和的大小不同导致的
// 所有可得必须是下标i对K取模相等的数的和全相等，才会是good数组
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
 
    int n, k, q;
    cin >> n >> k;
 
    vector<int> a(n);
 
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        cin >> a[i];
 
        // 运用前缀和，将对K取模相等的加起来
        if(i >= k)
            a[i] += a[i - k];
    }
 
    cin >> q;
 
    while(q --)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
 
        l --, r --;
 
        vector<int> b(k);
 
        for(int i = r; r - i + 1 <= k; i --)
            b[i % k] = a[i];
 
        // 减去区间之外的
        for(int i = l - 1; i >= 0 && l - i <= k; i --)
            b[i % k] -= a[i];
 
        // 只有k个数，且这k个数都(与b[0])相等
        if(b == vector<int> (k, b[0]))
            cout << "Yes\n";
        else
            cout << "No\n";
    }
 
    return 0;
}