数学分析题和初中几何题

大前天一起看到数学吧的两个帖子，《求助一道数学分析题目》 https://tieba.baidu.com/p/9318083225 ，《初中几何竞赛题，大神们指导一下》 https://tieba.baidu.com/p/9313074655 。

一起是同一时间先后一点。

我在《求助一道数学分析题目》 18 楼回复 @瑞霂泠晶，

“

前几天你在关于三阶导数的证明 4 楼说了多项式拟合，今天，我们在这里用正弦函数拟合，叫 “正弦函数拟合大法” 。

正弦函数也满足 | f ' (x) | <= 1 ，可以用正弦函数拟合夹逼。

正弦函数和正弦函数拟合夹逼，正弦函数和锯齿波（三角波）拟合夹逼，其实正弦函数主要是提供了一个样例，实际上不一定用正弦函数证明，这题直接证明应该不难。

”

来做一做《求助一道数学分析题目》里的题，

记

f2 ( x ) = f ( f ( x ) )

f3 ( x ) = f ( f ( f ( x ) ) )

f4 ( x ) = f ( f ( f ( f ( x ) ) ) )

……

f_n-1 ( x ) = f ( …… f ( x ) ) , n - 1 个 f ( x ) 嵌套

fn = f ( …… f ( x ) ) , n 个 f ( x ) 嵌套

fn ′ ( x ) = f ′ ( f_n-1 ( x ) ) * f_n-1 ′ ( f_n-2 ( x ) ) * f_n-2 ′ ( f_n-3 ( x ) ) * …… * f3 ′ ( f2 ( x ) ) * f2 ′ ( f ( x ) ) * f ′ ( x )

因为 | f ′ ( x ) | < 1 ，所以 f ′ ( f_n-1 ( x ) ) , f_n-1 ′ ( f_n-2 ( x ) ) , f_n-2 ′ ( f_n-3 ( x ) ) , …… , f3 ′ ( f2 ( x ) ) , f2 ′ ( f ( x ) ) , f ′ ( x ) 的绝对值都小于 1，它们的乘积的绝对值也小于 1，当 n -> 无穷时，它们的乘积 -> 0 ，即当 n -> 无穷时， fn ′ ( x ) -> 0 。

当 n -> 无穷时， fn ′ ( x ) -> 0 ，这意味着当 n -> 0 时， fn ( x ) 趋于一条平行于 x 轴的直线，这样，无论 x 取任何值， fn ( x ) 都趋于同一个值，当然， xn 也就收敛于一个确定的值。

值得注意的是，此时，对于一个确定的 x ， xn 收敛于一个确定的值，不仅如此，刚刚也说了，对于任意的 x（无论 x 取任何值）， xn 都收敛于同一个值，这个过程值得思考，可以换个问法，比如，可以问，存不存在这样的情况， xn 收敛，但不同的 x 对应的 xn 收敛的值不一样？

其实上面的证明并不严格，存在漏洞，当 n -> 无穷时， fn ′ ( x ) , f_n-1 ′ ( x ) , f_n-2 ′ ( x ) , f_n-3 ′ ( x ) 都趋于 0 ，但 fn ( x ) , f_n-1 ( x ) , f_n-2 ( x ) , f_n-3 ( x ) 并不一定趋于同一个值，它们之间可能是跳跃的关系，这样的话，还能说 xn 收敛吗？

以上告一段落，接下来看题目的一个特例。

若 x = 0 时， f ( x ) = 0 ，这是题目的有一个特例。

一般的， f ( x ) = f ( x ) - f ( x₀ ) + f ( x₀ )

设 ⊿ x = x - x₀ ， ⊿ y = f ( x ) - f ( x₀ ) ， C = f ( x₀ )

则 f ( x ) = ⊿ y + C ， C 为常量

因为 | f ′ ( x ) | < 1 ，可知 | ⊿ y | < | ⊿ x | ，若 x₀ = 0 ， f ( x₀ ) = 0 ，则

C = 0

f ( x ) = ⊿ y + C = ⊿ y + 0 = ⊿ y

⊿ x = x - x₀ = x - 0 = x

即

若 x = 0 ， f ( x ) = 0 ，则 f ( x ) = ⊿ y ， x = ⊿ x

因为 | ⊿ y | < | ⊿ x | ，所以 | f ( x ) | < | x | ，所以 f ( …… f ( x ) ) 嵌套的绝对值越来越小，当嵌套次数 n -> 无穷时， f ( …… f ( x ) ) 会趋于 0，或是趋于一个绝对值大于 0 的值？总之，可以说 f ( …… f ( x ) ) 收敛于一个确定的值吧，这里不会有跳跃吧？

还真会跳跃，这里只证明了 f ( …… f ( x ) ) 的绝对值收敛于一个确定的值，绝对值是收敛了，但符号一直在变呢？ fn ( x ) 是正， f_n-1 ( x ) 是负， f_n-2 ( x ) 是正， f_n-3 ( x ) 是负，这样变来变去，又成跳跃了。

我觉得数学分析题不难，初中几何题比数学分析题难。

数学分析题你只要去 “分析” 就行了，初中几何题你又不能用解析几何和代数方程甚至超越方程去计算它的 “数值解”，必须用几何方法证出 “解析解” 。

当然，几何方法也有解析几何和代数方程，并不是说几何方法没有解析几何和方程。

这里的 “数值解” 和 “解析解” 是打引号的，意会就行。

要用几何方法证出 “解析解”，需要一些几何方法，或这些几何方法的组合，这些几何方法类似 “套路”，套路需要思考发现，或是经验，一些比较复杂的初中几何题需要多个几何方法组合起来，多个几何方法排列组合会产生许多组合，每一个组合就是一条解题路径，排列组合产生的组合很多，也就是解题路径很多，要从这么多解题路径中找出能解题（证明题目）的路径，需要花很多时间思考尝试。

数学分析题更像面向过程编程，初中几何题更像设计模式的控制反转。