老掉牙 的 三角多米诺

大前天 看到 数学吧  @贴吧用户_GyJ11RG  的  《大一高数求助》   https://tieba.baidu.com/p/9208796623    。

 

题目 是 求 极限    lim  cos ( x / 2 ) * cos ( x / 2^2 ) * cos ( x / 2^3 ) * …… * cos ( x / 2^n ) <  [ cos ( x / 2^n ) ] ^ n ,  n -> 无穷 。

 

一开始我觉得这题的 答案 是 0，   因为我觉得  lim [ cos ( x / 2^n ) ] ^ n ,  n -> 无穷 = 0  。         @hightersky    

 

设   f ( n ) = cos ( x / 2 ) * cos ( x / 2^2 ) * cos ( x / 2^3 ) * …… * cos ( x / 2^n ) <  [ cos ( x / 2^n ) ] ^ n                                                                     

因为   0 < f ( n ) <  [ cos ( x / 2^n ) ] ^ n  ， 若    lim [ cos ( x / 2^n ) ] ^ n ,  n -> 无穷 = 0  ， 根据 夹逼定理，   lim f ( n ) ,  n -> 无穷 = 0  。

 

后来 过了两三天， 又打开帖子看看，  看到 网友 回复  “老掉牙 的 三角多米诺 题目 。 （ 顽皮 / 吐舌 ）”，  并且在这一楼贴出了手写解题过程， 我一看，傻眼了， 确实是 多米诺 。

 

我 检查了 这个网友 的 解题过程， 主要检查了 其中的 两三个 主要步骤， 确实是这样， 合理，  又从 解题过程 以外 的 一些方面 作了 推理验证， 基本上了解了   lim  cos ( x / 2 ) * cos ( x / 2^2 ) * cos ( x / 2^3 ) * …… * cos ( x / 2^n ) <  [ cos ( x / 2^n ) ] ^ n ,  n -> 无穷     这个极限，  从中也发现   lim [ cos ( x / 2^n ) ] ^ n ,  n -> 无穷    应该等于 1 ， 而不是 0 。

 

在 一开始 看到 这题后 的 分析过程 中，  也多次意识到   lim [ cos ( x / 2^n ) ] ^ n ,  n -> 无穷   到底是 等于 1 还是 0 ，  我猜想  lim ( 1 - 1/n )^n ,  n-> 无穷 = 0 ， lim [ cos ( x / 2^n ) ] ^ n ,  n -> 无穷  可以看作   lim ( 1 - 1/n ) ^ n ,  n -> 无穷 ，  进一步，  lim [ cos ( x / 2^n ) ] ^ n ,  n -> 无穷  是   lim ( 1 - g ( n ) ) ^ n ,  n -> 无穷  型 极限，  g ( n )  是 无穷小，  而  lim ( 1 - g ( n ) ) ^ n ,  n -> 无穷  = 1 或  = 0  跟  g ( n )  有关，  具体这个关系是什么样，  还不明朗 。

 

lim [ ( 1 - 1/n ) ^ (1/n) ] ^ n ,  n -> 无穷 = 1 ，   试想，  无论如何， 无论 g ( n ) 是什么，  1 - g ( n )  趋近于 1 的 速度 也不会 比 ( 1 - 1/n ) ^ (1/n)  更快吧  ？   ( 1 - 1/n ) ^ (1/n)  的 1/n 次方 和 外面的 n 次方 抵消，  使得  lim [ ( 1 - 1/n ) ^ (1/n) ] ^ n ,  n -> 无穷 = 1 ，  看起来， 如果把   1 - g ( n ) 看作是 lim [ ( 1 - 1/n ) ^ (1/n) ] ^ n ,  n -> 无穷 的  “核”， 或  “核函数”，  那么，  这个 “核” 似乎也需要一个  1/n 次方，  才能使得 lim 核 ,  n -> 无穷 = 1 呢，   即   lim [ ( 1 - g ( n ) ) ^ (1/n) ] ^ n ,  n -> 无穷 才能  = 1  ，   lim ( 1 - g ( n ) ) ^ n ,  n -> 无穷  不会 = 1 。    但这个推理 并不严格，  实际上，  这只是 众多 推理路径 中的 一条， 而 这条路径 本身也不严格 。

 

另一方面，   cos ( x / 2^n )  =  根号 { 1 -  [ sin ( x / 2^n ) ] ²  }   

lim [ cos ( x / 2^n ) ] ^ n ,  n -> 无穷  

=  lim { 根号 { 1 -  [ sin ( x / 2^n ) ] ² } } ^ n

=  lim { 1 -  [ sin ( x / 2^n ) ] ² } ^ ( n / 2 )

 

这就变成了   lim ( 1 - g ( n ) ) ^ n ,  n -> 无穷  型，   g ( n ) = [ sin ( x / 2^n ) ] ²  ，  “核” 是 1 -  [ sin ( x / 2^n ) ] ²  。

 

众所周知，  sin x 和 x 是 等价无穷小，  于是，  可以试试把   sin ( x / 2^n )   换成  x / 2^n ， 这样  

lim { 1 -  [ sin ( x / 2^n ) ] ² } ^ ( n / 2 )

=  lim [ 1 -  ( x / 2^n ) ² ] ^ ( n / 2 )

 

但实际上，  这样也不严格，   因为这里是 减法，  1 -  [ sin ( x / 2^n ) ] ² ，   而且外面有 指数 n / 2 ，  严格的说， 当 x -> 0 时， sin x 和 x 也不是完全等价 。

 

虽然不严格，  但我们实在懒得进一步思考， 又急于想知道答案， 所以， 当 x -> 0 时，  sin x 和 x 也就相差的那么一点点，  就先忽略不计了 。

 

但我们是如此的 懒得进一步思考， 又急于想知道答案， 又在 在 快餐店 吃饭的时候 思考， 储备的知识也不足， 于是， 更加不严格的一幕发生了， 虽然多次提醒自己注意  指数 对 极限 的 影响，   但 恍惚中，  把  x / 2^n  想成了  x / ( 2 n )  ，   然后   

lim [ 1 -  ( x / ( 2 n ) ) ² ] ^ ( n / 2 ) ,  n -> 无穷   =   0  

lim [ cos ( x / 2 n ) ] ^ n ,  n -> 无穷  =  0

这 说得通 吧  ？

 

一开始的时候，  在 帖子 里 也看到 网友 说 用 倍角公式 还是 半角公式  “一项项去消”，  我想了一下，  用  倍角公式 或 半角公式 代入， 会产生一大堆 平方式 或 开方式 嵌套，  不会消掉项  。

 

以上是 之前 的 一些 思考，  现在   

lim ( 1  -  1 / n ) ^ n ,  n -> 无穷

lim ( cos ( 1 / 2n ) ) ^ n  ,  n -> 无穷

lim ( 1  -  1 / 2^n ) ^ n ,  n -> 无穷

lim ( cos ( 1 / 2^n ) ) ^ n ,  n -> 无穷  

 

这些极限到底等于什么  ？      看起来可以用 洛必达法则，   但还不想深究 。

 

还有一个办法，   用 杨辉三角展开，  我在 《两种方法求解高数吧的一道题》   https://tieba.baidu.com/p/8325617946     20 楼 就 尝试构思过，  今天又重新想了一些， 但能不能实现，  要试试才知道 。

 

杨辉三角 就是 帕斯卡三角  、牛顿二项式定理 吧   ？

 

还有一个办法，  用  e = lim ( 1 + 1 / n ) ^ n , n -> 无穷  中，  1 + 1 / n 趋近 1 的 速度 与 n 次方 造成的 远离 1 的 效应（速度）的 此消彼长， 相生相克 的 关系 来 推理推广 到   

( 1  +  1 / 2^n ) ^ n ,  n -> 无穷

( 1  -  1 / n ) ^ n ,  n -> 无穷  

( 1  -  1 / 2^n ) ^ n ,  n -> 无穷

 

从  e = lim ( 1 + 1 / n ) ^ n , n -> 无穷  出发，  来 研究 这些极限 。

 

因为 e > 1 ，  由此可知   n 次方 造成的 远离 1 的 效应（速度）比 1 + 1 / n 趋近 1 的 速度 快， 而且是 高阶，  至少 高一个阶，  这就知道了  1+ 1 / n 与 n 次方 趋近 1 远离 1 的 关系，  这是一个 基本关系， 从这个 基本关系 出发，  来研究   ( 1 +  1 / 2^n ) ^ n  ， ( 1  -  1 / n ) ^ n  ， ( 1 -   1 / 2^n ) ^ n  。

 

n 次方 效应 比  1 + 1 / n  高阶，  这个 “高阶” 是怎么个说法，  应该怎样描述，  还说不清楚 。

 

我们不用计算出  e 的值，  就可以知道 e > 1 ，  我在  《走一走 欧拉先生 走过 的 路》     https://tieba.baidu.com/p/7502453309    写出了 推导  e = lim ( 1 + 1 / n ) ^ n , n -> 无穷  的 过程，  由此可知，  若  e = 1 ，  则  ( e^x ) ′ = e^x  不成立，  故 e > 1 。

 

这里  “此消彼长，相生相克”  云云 说的比较玄乎，   实际上，  要描述  1 + 1 / n 与 n 次方 效应 的关系，  可能还是要 使用 对数，   这样一来，  和 洛必达法则 那一套 又差不多了 。      但也确实可以拓展思维想象发散 。     1 + 1 / n 与 n 次方 效应 的 关系 又有一个 常见的 俗称  “利滚利”，  这个叫法也很形象生动 。  把  1 + 1 / n ，  1 + 1 / 2^n ，  1 - 1 / n ，  1 - 1 / 2^n  叫作 “核”，   问题就在于，  此消彼长， 相生相克 也好，  利滚利 也好，   如果没有 对数，   核 与 n 次方 效应 的 关系    是 很抽象的，  不容易 直观想象，  也不容易得出正确结论 。     核 与 n 次方 的 关系 有多抽象呢  ？     打个比方，  0.9999 …… = 1 在 民科吧 争论 100 年，  调和级数 在 民科吧 争论 100 年，  池塘里放几只鸭子 的 概率题 在 民科吧 争论 100 年，  相对论 在 反相吧 争论 100 年，  核 与 n 次方 效应 的 关系 需要在 民科吧 和 反相吧 争论 1000 年 。

 

这么一说，  哥德巴赫猜想 不服气了，  站出来说，  你们争论我要多少年  ？

 

核 与 n 次方 效应 的 关系 是 人类 认识 到 的 数学 的 抽象 的 代表之一， 它 发生在 数学 的 近代 初期末，中期始，  在 人类 打开 微积分 的 大门 之后  。

 

让人联想起 《三体》小说 中 三体人 初次 把 质子 在 宏观 展开 为 二维，  质子 向 三体人类  展示 二维 的 具象  。

 

这一段 写的 比较 随性，  不必认真 。

 

还是回到开始的话题，  1+ 1 / n 与 n 次方 趋近 1 远离 1 的 关系，  这是一个 基本关系，  已知 e > 1 ，  能不能用 对数 以外 的 办法 描述 这个 关系  ？    能不能用 对数 以外 的 办法 研究 核 与 n 次方 效应 的 关系  ？   

 

可以拓展思维想象发散 。

 

对数 以外的办法，  也不是绝对不用 对数， 可以这样理解 ：

1      不用 对数

2      用 对数，  但 不用 自然对数

3      用 自然对数，  但 不用 自然对数 求导

云云 。

 

从 非常规入口 进入，  这在 计算机技术 叫 Hack ，  Hack 得到 的 技术，  在 另外一些场合可能派上大用场，   同理，  如果能 用 对数 以外 办法 描述 核 与 n 次方 效应 的 关系，  这里的技术在 另外一些场合可能派上大用场，   比如 也许能 揭开  “初等方法”  的 宝藏 。

 

“初等方法” 是 数学界 梦寐以求 的 宝藏之一，   相传 藏在 大洋深处 的 岛屿，  近 400 年前，   法国人 费马 在 近海 建造了 一座灯塔， 叫作 费马大定理，  鼓励人们去 大海远方 寻找 初等方法 宝藏 。

 

哥德巴赫猜想 能否用 初等方法 证明  ？            这一提问 我自己都觉得 过于大胆 。

 

本文 又名  《从 技巧学派 的 塔罗牌 玩转，  转着转着，  飞起来，  飞到 系统学派 的 田园 、风车 、天空》 。

 

我在  《物理 的 游戏学派 和 数学 的 七大难题》   https://tieba.baidu.com/p/7768927355      提出 数学 有 技巧学派 游戏学派 系统学派  。

 

尾声

本来这篇文章基本上已经写完了，  昨天晚上在看  《西出玉门》 电视剧，  看着看着，  又想欣赏一下自己的文章，  就点开本文看了起来，  也算是 review ， 一边看一边沿着 之前的思路 和 一些未知点 想了起来 。

 

( 1 + 1 / n ) ^ n ,  n -> 无穷

=  e ^ [ n ln ( 1 + 1 / n ) ]

 

显然，   n ln ( 1 + 1 / n ) ,  n-> 无穷  =  0   ，  这作为一个 基本关系，   来看  ( 1 - 1 / n ) ^ n  。

 

( 1 - 1 / n ) ^ n ,  n -> 无穷

=  e ^ [ n ln ( 1 - 1 / n ) ]

 

( 1 - 1 / n ) ^ n ,  n -> 无穷 等于什么 和  n ln ( 1 - 1 / n )  等于什么 有关，  现在已知 “基本关系”  n ln ( 1 + 1 / n ) ,  n-> 无穷  =  0  ，  可认为  n ln ( 1 - 1 / n )  等于什么  取决于   ln ( 1 + 1 / n ) 和  ln ( 1 - 1 / n )  的 关系，   即  ln ( 1 + 1 / n ) / ln ( 1 - 1 / n ) ,  n -> 无穷  等于什么 。

 

ln ( 1 + 1 / n )  和  ln ( 1 - 1 / n )   实在 太对称，  太接近，  我们大胆猜想，   ln ( 1 + 1 / n ) / ln ( 1 - 1 / n ) ,  n -> 无穷 =  -1  。

 

保险起见，   还是用 洛必达法则 算一下 。

 

ln ( 1 + 1 / n ) / ln ( 1 - 1 / n ) ,  n -> 无穷 

=  [ ln ( 1 + 1 / n ) ] ′ / [ ln ( 1 - 1 / n ) ] ′

=  [ 1 / ( 1 + 1 / n ) *  ( 1 / n ) ′ ]  /  [ 1 / ( 1 - 1 / n ) *  - 1 *  ( 1 / n ) ′ ]

=  -  ( 1 - 1 / n )  /  ( 1 + 1 / n )   

=  - 1

 

由此可知，     n ln ( 1 - 1 / n ) ,  n -> 无穷  =  - 1  ，   于是

( 1 - 1 / n ) ^ n ,  n -> 无穷

=  e ^  [ n ln ( 1 - 1 / n ) ]

=  e ^ - 1

=  1 / e

 

( 1 - 1 / n ) ^ n ,  n -> 无穷  =  1 / e  ，  这个结果 有些 出乎意料，  又在 情理之中，  这让我有点高兴，  又有点不高兴，  高兴是这证明了我在上文说的  核 与 n 次方 效应 的 关系    是 很抽象的， 不高兴 是 把  ( 1 - 1 / n ) ^ n ,  n -> 无穷 想成了 等于 0 ，   没有 get 到 正确答案 。

 

这里，   如果 不用 求导数 就 求出  ln ( 1 + 1 / n ) / ln ( 1 - 1 / n ) ,  n -> 无穷  ，  就是 上文说的  “3      用 自然对数，  但 不用 自然对数 求导”  。

 

n ln ( 1 + 1 / n )   代表  ( 1 + 1 / n ) ^ n ,  n -> 无穷  中 1 + 1 / n 与 n 次方 的 关系，  n ln ( 1 + 1 / n ) ,  n -> 无穷  =  1 ，  这是一个 基本关系，  从这个关系出发， 来 研究  ( 1 - 1 / n ) ^ n ,  n -> 无穷 ，  把   n ln ( 1 + 1 / n )   里 的  ln ( 1 + 1 / n )  换成  ln ( 1 - 1 / n )  ，  会怎么样  ？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin ( π/2 - x / 2^n ) = sin (π/2) cos  

 

 

 

 

老掉牙 的  三角多米诺  。