《能不能使用光的信号来定义时间？》 回复

《能不能使用光的信号来定义时间？》        https://tieba.baidu.com/p/9149570963   

 

 

基础的话题， （吃瓜）  收拾河山从这里开始 。

 

原来 老爱 定义过 Tn = Tm + Rmn/c ，哈哈，越来越有趣了，他没考虑他自己推导出来的 尺缩 吗 ？

 

《狭义相对论的意义》  是 在  《论动体的电动力学》  之后才写的吧 ？     也许是很多年后 。

 

但不管是之前还是之后，    Tn = Tm + Rmn/c ， 尺缩， 钟慢  这些嵌套起来对各种现象是否矛盾重重， 矛盾百出 ？     其中 产生 、衍生 的 矛盾是不是也是嵌套， 一个嵌套一个，   一个嵌套一群，  一群嵌套一个，  层层嵌套  …… ？

 

就算 矛盾 层出不穷，    也不打紧，   相对论 只要 一个公式 解释 一个现象 就行，  一个萝卜一个坑，  至于 公式之间 是否 矛盾，  那都不是事，  正如  @东方已晓  在  2 楼 说的  “只求能够解释运动现象是相对论的特色”  。

 

一直想问一些问题，   光速极限 是 尺缩 造成的，  还是 钟慢 造成的，   还是 动质量 造成的，  这些效应都合起来，  又会是什么效果 ？     但一想这些，  就感觉很乱，  然后到现在还是没想出太多进展，   每每想起来，  总有些惆怅，   不过也不打紧，   因为这好像不是我的学习任务，  好像是帮 老爱 想的 。

 

光速极限 指 物体运动速度 不能 超过 光速 。

 

@罡风潇洒 在 反相吧 帖子 里 问   @也宜明月博客 还是 @别问是劫是缘 还是 学生党，  具体是谁我记不清了， 问，  回旋加速器 里 接近光速 的 质子 的 尺缩 缩成什么样  ？        对方没有回答 。

 

四年前，   在 《超过 光速 的 方法》   https://tieba.baidu.com/p/6626631023   ，    我 和  @aa954011705  的 谈话 涉及了 光速极限 是 尺缩 造成的，  还是 动质量 造成的  ？

 

@aa954011705     经常换帐号，   现在的帐号 是    @12345aaa54321a    。

 

 

 

 

 

 

6 楼 的 数学题，  代入法 是 基本的解法，  《困扰了我一星期的数学题》    https://tieba.baidu.com/p/9151180749   里很多人提到的 数形结合， 用 x ² + y ² 的 “距离”  意义 解题 也是 经典的解法  。

 

《困扰了我一星期的数学题》   34 楼  @lyl186669  提到 三角换元法，   43 楼 @骆文魁 用 三角换元 做了一遍， 里面画了两个 正弦 、余弦 函数的图像， 看起来像    牛顿 和 莱布尼茨 手稿， 呵呵，  而且我顺手点进他的个人主页，  发现他居然还在 数学吧 发了一帖  《求解答这样写是哪里出错了》   https://tieba.baidu.com/p/9152303894  ，    把这题又做了一遍，   还自己做出问题来了， 2 楼  @spectre哦  指出问题原因后， @骆文魁  说  “顿悟了（流泪） 假期玩傻了” 。   3 楼  @GG吾945 说  “没有最大值应该”  。

 

三角函数换元，  要刚好凑成 和角公式 之类的，   如果 凑不成 和角公式 之类，  就体现不出 三角函数换元 的 意义，  还是和 代数换元 一样 。

 

代数换元 就是 一般的换元，  这里是相对于 三角函数换元 这么说 。

 

去年我在  高级民科吧  发过一帖   《伟大的吧u们看看十六题吧》    https://tieba.baidu.com/p/8412216545    。  

 

刚才看  @GG吾945 个人主页，  不小心划进了他的 “关注的吧 23”，  慌乱中手一划又点进了 数学吧，  数学吧 的 帖子排序 是  “热门”，  最上面的一个 帖子 是  @贴吧用户_a29X9aU  《求助一道极值题》    https://tieba.baidu.com/p/9154480258  ，    这题也可以研究一下 。 

 

现在想想，  慌乱中手一划，  只一划，  在 @GG吾945 关注 的 23 个 吧 里，  就刚好点进 数学吧，  这也太神了 。   本来在写这段文章，  就在反复进入后退看 数学吧 的 这些帖子，  结果 手一滑，  又来到 数学吧，  也是够神的了，  有点像  《小灵通漫游未来》， 《漫游数学世界》 。

 

《漫游数学世界》  是 一本书 还是 一本书中的一篇 科学小品， 记不清了，  《漫游数学世界》 是我现在临时按大意起的 书名 或 篇名， 实际的 书名 或 篇名 也记不清了，  这篇 科学小品 是讲一个 小学生（名字也记不得了）  来到一个 数学的世界， 的 一个地方，  那里 的 居民 都是 数字 0，   其中带领他参观的也是一个小朋友，  叫 王小零，  王小零 告诉 主人公，  在他们这里，   外人可以和这里的居民 握手，  但不能拥抱，  因为 拥抱 是一个 乘号 ╳ ，  0 × 任何数 = 0 ，   外人和 0 一拥抱， 就变成 0 了，  而 握手 是 一个 加号 + ，   任何数 + 0 = 任何数 ，   外人 和 0 握手，  还是自己 。

 

 

 

 

 

 

前天晚上 开始 写 7 楼 内容 时，  偶然看见    《这还是个未解之谜，民科们可以解决吗？》   https://tieba.baidu.com/p/9154088723  ，    是  @译网情深happy  在 民科吧 发的帖子，  是个 视频帖，   看了一下，  然后 一边听，  一边写，   听了几遍，  觉得 挺好听，  挺好看，   想问，   视频的出处和博主是 ？

 

 

 

 

 

 

6 楼 的 题 改一下，   把 平方 ²  换一下，   

原题 是 已知 3 x + 2 y = 6，  求 x ² + y ²  最大值，  （实际上 应该是求 最小值）

改成 已知 x ² + y ² = 6 ，  求  3 x + 2 y  最大值 和  最小值  。   

这样可以用三角函数换元 。 （滑稽）

 

3 x + 2 y 可以凑成  A sin α + B cos α ，   A sin α + B cos α  =  正弦函数，   我听 学帝 说， 这是 简谐函数 。   

 

大约在 2022 年 7 月底 、8 月初，  学帝  、@dons222 ，  我们 在 帖子 里 谈话，  在 理论物理吧，   谈着谈着，  我说起了  A sin α + B cos α  ，   学帝 说这是 简谐函数，  @dons222 一听兴奋了，  追着 学帝 问，  “真的吗 ？   相位的差异可以用模长表示，   真的可以吗 ？”     学帝 慈祥 的 看了看 @dons222 ，  丢下一句话，   “可以在 数学 上 证明  。”

 

现在，  我证明了  A sin α + B cos α  =  正弦函数 ，     @dons222  ，   要不要告诉你 ？

 

进一步思考，  原题 也能用 三角换元  。  即，    已知 3 x + 2 y = 6，  求 x ² + y ²  最小值，   能用 三角换元  。 

 

设  r ² = x ² + y ²  ，  则  y = 根号 ( r ² - x ² )  

将   y = 根号 ( r ² - x ² )    代入  3 x + 2 y = 6   

3 x + 2 根号 ( r ² - x ² )  =  6   

 

3 x + 2 根号 ( r ² - x ² )  =  6    是  r 和 x 的 隐函数，    求 r 的 最小值  。  这可以用 三角换元，  设  sin α = x / r  ，  接下来，  大家试试 。

 

设  r ² = x ² + y ²  ，   代入  3 x + 2 y = 6  ，    这算是 “反向代入” ？

 

在 思考 换元解题过程的种种情况 以及 三角换元 后 定义域 的 转换处理 的 时候，    又看了几遍   《困扰了我一星期的数学题》   https://tieba.baidu.com/p/9151180749    1 楼  题目 图片，   也看了几遍题目里 x, y 的 定义域  “ x, y ∈ R+ ”  这段，   突然注意到 R 的 右上角 有个 + ，  这样的话，  x, y 都是 正实数，  原来一直以为是 整个 实数域，  x, y 可以是正数 也可以是 负数 。

 

原来也看到  《困扰了我一星期的数学题》  2  楼  @GG吾945 说，  “注意范围哦”，   反复 看 题目 图片 时 也看到 R 的 右上角 有 + ，  看着也顺眼，  但感觉上想的还是 整个实数域，  x, y 可正可负 。

 

虽然是 正实数域，  但对 原题 影响也不大， 最大值 仍然不存在，  x 在 正实数域 无限增大，  x ² + y ²  也无限增大， 对 最小值 会有些影响，  最小值 不一定是 极小值 。

 

既然 x ∈ R+  ，    那么这里 三角换元，   sin α = x / r  ，   就要注意  α 的 取值范围，  即 定义域，  即 三角换元 后 定义域 的 转换处理  。  但我思考 三角换元 后 定义域 的 转换处理 不是在 看到 x ∈ R+ ，  注意到 R 后面有个 + 之后，   恰恰相反，  是在之前 觉得 x, y ∈ R ， 整个实数域 的 时候，  因为 x, y 在整个实数域，  可为正数，  可为负数，  所以就想 如果 x 为负数 时， 会怎么样，  对 换元 和 换元后的 函数 定义域 和 值域 有什么影响 ？   思考这些以后，  再看题目图片， 才注意到  R 后面有 +  ，   大体的思路过程是这样，  当然，  思路这个东西是很难说清的，  也许不是这样，  也许是先不经意的注意到 R 后面有 + ， 才想起考虑  三角换元 后 定义域 的 转换处理 的 一系列事件 。

 

三角换元 的 缺点 是 把 结果 变成了 超越数，  结果 指 极值条件 和 极值 。  极值条件 就是 x = ?  时，  r 取极值 。 比如这里 三角换元 后 的 极值条件 是  x / r = sin ( π/2 - arcsin B/n )   的 形式，   x / r = sin ( π/2 - arcsin B/n )   是 超越数  。    但实际上这题， 也就是 原题 可以用 代入法 和 数形结合 解，  得到 的 极值 和 极值条件 是 代数数 。

 

也就是说，  这里的 x / r = sin ( π/2 - arcsin B/n )  这个 超越数 是 代数数，  又或说，  既是 超越数， 又是 代数数，  但实际上， 这些说法不对，  应该是，  x / r = sin ( π/2 - arcsin B/n )    是 代数数  。   这有些不可思议，  但想想也不奇怪，  sin 30° = 1/2 ， 是 有理数，  sin 45° =  根号 2 / 2 ， 是 无理数，  都是 代数数 。

 

但如果我们没有用 代入法  、数形结合 解题，  或 题目 可能存在 简化的代入法  但我们还没找到，  那么，  用 三角换元 后 得到 的 极值条件 和 极值，  我们不知道是不是 超越数，  不能确定 。 

 

为什么说  “可能存在 简化的代入法  但我们还没找到”，   因为， 比如， 一些题目，  用  代入法 可以得到 代数方程，  五次以上  代数方程 的 解 是 超越数，  据此可以判断 极值条件 和 极值 是不是 超越数，   但也许存在 简化 的 代入法 或 其它方法 可以得到 四次以下 的 方程 呢 ？

 

但实际上，  x 是不是 超越数， 还跟 r 是不是 超越数 有关，   现在不确定  x / r = sin ( π/2 - arcsin B/n )  是不是 超越数，  那 r 是不是 超越数 ？    仔细想一下， 极值条件 x 和 极值 r 是不是 超越数，  分析起来 还有一点 周折，  也许 一些 因素 互相抵消后，  又可以确定 是否 超越数 了 呢 ？    我分析了一下，  还是不能确定 是否 超越数，   就是说，  这题 三角换元 后，   不能确定 极值条件 x 和 极值 r 是不是 超越数 。

 

小小的补充一点 ：     其实在这一题里，   r  可以知道 是 代数数 。

 

刚才说  “分析起来 还有一点 周折”，    有点想多了 。

 

我们 讨论过   “两个 超越数 的 和 会不会是 无理数 ？”     这样的话题，   在 《猜想：e＋π或e×π为有理数，求证明》    https://tieba.baidu.com/p/8327270906    。

 

实际上，  五次以上方程 和 三角换元 一样，  面临一样的问题，   比如，  一些题目， 推导出 五次以上方程，  但不知道还有没有简化的方法可以推导出 四次以下方程，   若有 简化的方法 推导出 四次以下方程，  则意味着  题目 的 解 是 代数数，  但 因为 不知道 还有没有简化的方法可以推导出 四次以下方程，   所以 就没办法 判断 刚才推导出的 五次以上方程 的 解 是 超越数 还是 代数数，  也就是 没办法 判断 题目 的 解 是 超越数 还是 代数数 。 

 

另一方面，    若有 简化的方法 推导出 四次以下方程，  则意味着  题目 的 解 是 代数数，  则 刚才推导出的 五次以上方程 的 解 也是 代数数，   这意味着 这个 五次以上方程 的 结构 是 某种 特定 的 结构，   可以 凑出 求根公式，  得到 代数解 。

 

“这意味着 这个 五次以上方程 的 结构 是 某种 特定 的 结构，   可以 凑出 求根公式，  得到 代数解”，    这么说有些武断，   实际情况并不是这么简单， 需要分析具体的 素材 、案例 才能说的 清楚  、明白  、准确 。  我们需要 研究 比较多的 素材 、案例，  实际上， 我们缺少足够多的 素材 、案例 的 研究 。

 

绕了半天，  如果用 余弦函数，  A sin α + B cos α = 余弦函数 ，   sin 和 arcsin 或 cos 和 arccos 可以抵消，  极值条件 x 仍然是 代数数，   怪不得 中学辅导书 要写那么厚一本，  几本，  琳琅满目，  一道题目，  技巧， 方法挺多，  这方法，  那方法，  选错了方法，  解题质量和效率大打折扣， 考分大起大落，  如此态势，  学生怎能不循规蹈矩 ？    像我这样，  明明用 余弦函数 能 快速解题，  偏要弄个 正弦函数 出来，  弄了一个星期，   得到的 还不是 最简答案 、标准答案，   考试就不用考了，  一场考试 两个小时，  两个小时 只做一道题，   得到的 还不是 最简答案 、标准答案，  考试不及格，  倒数第一，  很容易被扫进差生行列，   天才就被埋没了 。

 

还是别闹了，    绕到最后，  刚刚发现，  最新发现，   sin ( π/2 - arcsin B/n )  的 sin 和 arcsin 也能抵消，  得到 代数数 。    结论 ：   天才考试太吃亏，  考试对天才 杀伤力 太大 。

 

这次 的 三角换元 之旅，  有一些 未知，  有一些 新奇，  有一些 冒险，   就像 小时候 看的 《动画大王》 上 小朋友 和 卡通人物 们 环游世界 的 一个个 历险故事，  有一些未知，  有一些新奇，  有一些冒险，   都是童趣  。

 

小朋友们，  你们准备好了吗 ？

 

 

 

 

 

 

  

 

回复 6 楼  @hightersky    

 

以前我思考过 均值不等式 的 证明方法，   总有些 模模糊糊，  有些东西一直没搞清楚，  前几天 考虑 你在 6 楼 说的东西 和 @神秘慈善打工人 在 7 楼 说的东西， 把 你们说的东西 和 均值不等式 一起考虑，  整理了一下，  整理出 均值不等式 的 两种证明方法 。

 

第一种 就是 常见的，

( a - b ) ²  >= 0

a ² - 2ab + b ² >= 0

a ² + b ² >= 2ab

 

第二种  

a ² + b ² >= 0

a ² + 2ab + b ² >= 2ab

( a + b ) ² >= 2ab

a + b >= 根号 ( 2ab )

 

有意思的地方在哪里 ？   有意思的地方是，   第一种 是 用  a - b 证， 用 - 证，  第二种 是 用  a + b 证， 用 + 证，  第二种得到 “开方 / 根号” 的 结果 。

 

你们会先想到 - 还是 + ？          先想到 平方 还是 开方 / 根号 ？

 

我想 发现 均值不等式 和 证明 均值不等式  的 人 想到的不一样 。

 

哎 ？          等等，  第一种 和 第二种 证明的结论 并不一样 。       

 

接下来，  我们该干嘛 ？