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你是不是看了 @tigeduy 的《今晚读读蔡泽禹的《数学心》》 https://tieba.baidu.com/p/8864001232 9 楼，所以想到这题的？我是今天下午才看到《今晚读读蔡泽禹的《数学心》》 9 楼讲到托里拆利小号。

《今晚读读蔡泽禹的《数学心》》 9 楼

“

第七十七章　托里拆利加百利小号

填满整个托里拆利小号只需要有限的油漆，但把托里拆利小号的表面刷一遍，却需要无限多的油漆！

”

一开始看到填满小号的油漆有限，刷小号表面的油漆无限，觉得很惊奇，但也隐约猜到原因，想了一会儿，大体知道了，这是极限场景（极限世界，如果世界缩小在一个极限里）呈现出的奇妙性质。数学上证明相对容易，直观上理解反而更难。

我简单的推导了小号的表面积和体积，把相邻的两个圆之间的半截圆锥看作圆柱，这样推导起来简单。

用高阶低阶无穷小无穷大来理解小号表面积无限、体积有限，在直观上比较容易理解。

我还想了用两个托里拆利小号来夹逼构造一个光滑的小号，用光滑的小号研究表达表面积无限、体积有限等等性质，但还没想好怎么玩。

这里又想到一个话题，无穷小的世界能不能等比例放大为宏观世界？这个话题以后讨论，先留下一个线索：把相邻的两个圆之间的半截圆锥看作圆柱，托里拆利小号的表面积和体积都是无穷级数，记第 n 项为 bn 。当 n-> 0 时，bn -> 0 ，bn 是无穷小。我们使用的长度单位是米，以体积为例，n -> 0 时，bn 是无穷小平方米，如果我们设立一个新的单位，艾米，1 平方艾米 = 1 无穷小平方米，那么，原小号体积无穷级数中的无穷小全部会变成常量，单位平方艾米，常量会变成无穷大，单位平方艾米，体积（级数）的值也会变成无穷大，单位平方艾米，也就是说，通过 “单位换算”，将无穷小的世界放大到宏观，但问题是，这样的放大是不是 “等比例” ？

这里是举小号体积的例子，小号体积本来就是常量，只有 bn 是无穷小，我们抓住 bn 这个尾巴来放大。实际上，这里想说的类似一沙一世界，一个无穷小里就有一个世界，那么，能不能把这个无穷小放大到常量，使得里面的世界也等比例放大？等比例是指里面的世界的所有事物结构形态信息保持不变，不影响里面的世界的运转和存在。

既然有等比例放大，当然，也有等比例缩小。所做的这一切，都是为了实现一沙一世界，层层叠叠。电影《第五元素》最后结尾就是从地球到太阳系，到银河系，到宇宙，宇宙是更大的宇宙里的一个星球，更大的宇宙是更大的宇宙里的一个星球，更大的宇宙是外星人台球桌上的一个台球，外星人打台球。就是要达到这样的效果，向上无限层层放大，向下无限层层缩小，上下自由追溯遨游穿越。

等比例放大（缩小）是否成立，关系到无穷（无穷小）公设体系的设定，无穷（无穷小）公设体系应如何设定，以及关系到数学和物理的对应，数学和现实世界的对应。我前几天看数学吧帖子的时候就突然想到，函数是在坐标系上，坐标系由数轴组成，即函数由数轴上无穷多个的 “数” 组成。也许是看帖子里的网友回复，突然想到，数轴光秃秃的，上面有无穷多个数，但是，没有 “单位” 。因为没有单位，所以光秃秃的，或者说，滑溜溜的，白白的一片，滑溜溜的。如果有了单位，这些数的意义会不会发生变化？增加新的意义选项和约束项？若单位不同，则这些数及函数的意义会发生什么样的变化？总觉得不能忽视这个问题，既然有单位，那么，数轴上的数当然可以有单位，那么，就存在 “有单位” 和 “无单位” 的两种情况，这两种情况会不会存在什么不同，也许我们还没有发现，也许我们去发现的话，会发现更多更深的东西。

也是前几天，还有以前，我也想过单位换算带来的倍数缩放对函数图像造成的影响，比如对导数的影响，这些缩放的意义是什么，哪些是 “变” 的，哪些是 “不变” 的。也想过函数图像等比例放大，以前证明牛顿迭代法的时候，用到函数曲线等比例放大。我写过《出一道题：证明牛顿迭代法》 https://tieba.baidu.com/p/7018021234 ，还写过《泰勒级数无敌逼近法》，见《椭圆周长公式与椭圆积分》 https://tieba.baidu.com/p/8177084286 23 楼。