一个四元二次方程组

今天在数学吧看到《求下面四元二次方程组的整数解》 https://tieba.baidu.com/p/8842548411 。

枚举法，进一步是穷举法。

a b = c d

a = c d / b

代入 a ² + b ² = c ² - d ²

( c d / b ) ² + b ² = c ² - d ²

c ² d ² / b ² + b ² = c ² - d ²

c ² d ² + b ⁴ = c ² b ² - d ² b ²

因为 a, b, c, d 为整数时， a ², b ², c ², d ², d ⁴ 也为整数，所以， a ², b ², c ², d ², d ⁴ 为整数时， a, b, c, d 才会为整数。故设 A = a ², B = b ², C = c ², D = d ² ，原方程为

C D + B ² = C B - D B

只要找 A, B, C, D 的整数解就行。

昨天以为可以化为一个一次方程，比如 C = D / B + B / R , R 为常量，这样，固定 B（设 B 为一个确定的整数， B = b ², b 为整数），方程就是 C 、D 为未知数的二元一次不定方程，根据二元一次不定方程整数解的公式，可以得出 C 、D 整数解 C = f1 ( n ) , D = f2 ( n ) , n ∈ 整数。

然后，再看 C 、D 的平方根是不是整数，如果是，就是原方程的解 c, d 。

然后，将 B 设定为下一个整数，重复上述过程，找出 c 、d，如此枚举。

这里用了二元一次不定方程的整数解公式，也是枚举，但比直接枚举 C 、D 快，也比直接枚举 c 、d 快，直接枚举 C 、D 是让 C 取每一个整数，或让 D 取每一个整数，直接枚举 c 、d 也是让 c 取每一个整数，或让 d 取每一个整数。

这是设想，以为原方程可以化为一次方程，但上面实际推导下来，并不能化为一次方程，也就不能用上面设想的方法。

原方程化为 C D + B ² = C B - D B ，这是一个二次方程，是椭圆曲线方程。 xy + y = 1 这样的方程是椭圆曲线方程。

二元一次不定方程整数解公式应该就是传说中的 “Pell 方程”，不过我没去看什么 Pell 方程，我是自己推导的。我为什么会研究过二元一次不定方程？因为 2022 年底在民科吧我和 @多项式之父 @血源萌新☜ 讨论的那些题和二元一次不定方程有关。

椭圆曲线，印象有些模糊，两年前，在《小学数学题，99%家长也做不出来》 https://tieba.baidu.com/p/6131386128 23 楼看到 @ylyyjjlh 说 “椭圆曲线加法，如果要快速计算则要用到乘法，同时，要利用快速幂技术。” ，其实印象中，我一直以为我看到 @ylyyjjlh 说的是 “椭圆曲线加速算法”，一种数值计算方法，从名字看起来像是利用椭圆曲线的一些性质加速某些数值计算的效率。他说的 “椭圆曲线加速算法” 引起我的兴趣，对这个算法展开想象，当然，首先，要先弄清 “椭圆曲线” 是什么。我想，椭圆曲线？是什么？椭圆吗？椭圆本身不就是曲线吗？椭圆是曲线，加一个 “曲线”，椭圆曲线是什么？只听说过圆锥曲线，很容易说溜嘴把椭圆曲线说成圆锥曲线。数学家、主流、官科、教科书又在装神弄鬼。

由此，我查了百度百科 “椭圆曲线” 词条，哦，原来椭圆曲线是二次方程曲线，这还差不多，椭圆就是二次方程嘛，椭圆曲线是椭圆的不规则版，扩展版，二次方程的一般的情况。嗯，原来如此，还行。

这是之前了解椭圆曲线的故事。用港漫的话，应该可以插一句旁白 “前事完”，很应景。

@MASTEЯ 是圆锥曲线吧、中华数学吧的吧主，不知道他在那个吧里干了些什么？

有没有椭圆曲线吧？

上面讲起 “椭圆曲线加速算法”，还想起一个不喜欢考试的数学家用椭圆解一元五次方程。

印象中椭圆曲线是二次方程，印象比较模糊，昨天回忆，想着想着，想到二次方程是椭圆曲线的话，那二次函数抛物线岂不是也是椭圆曲线？这有点不对劲啊？但 xy + y = 1 这样的又真的很像椭圆曲线。

于是查了一下 360 百科，哗，原来椭圆曲线是三次方程曲线。我觉得应该把除了抛物线以外的二次方程也算作椭圆曲线，其实抛物线算作椭圆曲线的一种也行。

突然想到 xy + y = 1 变形为 y = 1 / ( x + 1 ) ，是双曲线，尴尬。那 x ² + xy + y = 1 ，这样总行了吧？这应该算是椭圆曲线了吧？

其实双曲线也可以认为是椭圆曲线的一种。圆也是二次方程，是椭圆的规则形态，要不要把圆锥曲线都统一到椭圆曲线里？呵呵。还是不要了，那样就死板、臃肿、累赘了， “整合” 不一定是好的。

把圆锥曲线排除在椭圆曲线之外倒是个不错的主意。比如，圆锥曲线和抛物线以外的二次方程都是椭圆曲线，这就很妙，这就热闹了。

不看 a, b, c, d ，只看 C D + B ² = C B - D B ，找出这个方程的整数解，或，证明方程有没有整数解。

如果能枚举出一个解，就能证明，方程有整数解，我们又问，是不是只有一个解？或，第二个解是什么样？于是，又继续枚举，可以用计算机，枚举出第二个解，问题又来了，第三个解什么样？或许，我们应该问，一共有几个解？有无限多个解？还是有限多个解？若是有限多个解，是多少个？换个说法，设有 n 个解， n = ? n 可以是无穷。

也可以反过来，尝试证明方程没有整数解。