大一新生求助

数学吧《大一新生求助》 https://tieba.baidu.com/p/8620031619 。

本文已发到学习相对论吧《大一新生求助》 https://tieba.baidu.com/p/8621474551 。

这只要证明 q^n 相比起 n^a 是高阶无穷大就行了吧，好像和 “三个重要极限” 的其中一个有关。

一开始我在 2 楼说和 “三个重要极限” 的其中一个有关，凭的是经验和一点推理。

三个重要极限的其中一个是 lim n^(1/n) , n -> 无穷 = 1 。

数学吧原帖《大一新生求助》 https://tieba.baidu.com/p/8620031619 9 楼 @终焉之城2 说取对数。

我们来取对数看看。

n^a / q^n , n -> 无穷

= e ^ ln ( n^a ) / e ^ ln ( q^n )

= e ^ [ ln ( n^a ) - ln ( q^n ) ]

现在，看 ln ( n^a ) - ln ( q^n ) , n -> 无穷

ln ( n^a ) - ln ( q^n ) , n -> 无穷

= a ln n - n ln q

a ln n - n ln q , n -> 无穷等于多少？接下来怎么做，大家自己试试。

P： q^n = e ^ ln ( q^n ) ，严格的说，若 q < 0 ，应该是 n 为奇数时 , q^n = - e ^ ln ( | q^n | ) ， n 为偶数时 , q^n = e ^ ln ( q^n ) ，下同。

还可以这样取对数，

n^a / q^n , n -> 无穷

= e ^ ln ( n^a / q^n )

= e ^ ln { [ n^( a / n ) / q ] ^ n }

= e ^ { n ln [ n^( a / n ) / q ] }

现在，看 n ln [ n^( a / n ) / q ] , n -> 无穷

n ln [ n^( a / n ) / q ] , n -> 无穷

= n ln { [ n ^ ( 1 / n ) ] ^ a / q }

因为 n^(1/n) , n -> 无穷 = 1

所以 [ n ^ ( 1 / n ) ] ^ a , n -> 无穷 = 1 ^ a = 1

[ n ^ ( 1 / n ) ] ^ a / q , n -> 无穷 = 1 / q

ln { [ n ^ ( 1 / n ) ] ^ a / q } , n -> 无穷 = ln (1/q) ，因为 q > 1 ，所以 1/q < 1 ， ln (1/q) < 0

n ln { [ n ^ ( 1 / n ) ] ^ a / q } , n -> 无穷 = n ln (1/q) = 无穷 * 小于零的常量 = 负无穷

n^a / q^n , n -> 无穷 = e ^ { n ln [ n^( a / n ) / q ] } = e^负无穷 = 0

证明了之后，再来看，实际上， n^a / q^n , n -> 无穷和 n^(1/n) , n -> 无穷反映了幂函数和指数函数之间的关系，指数函数最终要增长的比幂函数快，值更大。

也可以说，指数运算最终要增长的比幂运算快，高一个阶，一个大阶。什么叫一个大阶？比如当 n -> 无穷， n , n ² , n ³ …… 是无穷， q^n 也是无穷， n ² 比 n 高阶， n ³ 比 n ² 高阶， …… 而 q^n 比 n , n ² , n ³ …… 都高阶，比一般的高阶高了很多，所以叫大阶。

说到这里，想起来，从指数函数最终增长得比幂函数快这一点来看，可以用朴素的、简单的想法来证明 n^a / q^n , n -> 无穷，这个方法是初等的、离散的、代数的。

这里说到 “初等”，刚好前天我在《【求证】东方学帝共量子论不定方程的最简有理数解……》 https://tieba.baidu.com/p/8621363558 14 楼说到 “初等方法” 。

用朴素、初等的方法证明 n^a / q^n , n -> 无穷后，可以反过来证明 n^(1/n) , n -> 无穷。

我证明过 n^(1/n) , n -> 无穷，不是用刚刚提议的方法，证明过程在以前的帖子里，现在就不贴过来了，以后你们会看到。

其实 7 楼不用取对数，

n^a / q^n

= { [ n^(1/n) ]^a / q }^n

因为 n^(1/n) , n -> 无穷 = 1 ，所以

{ [ n^(1/n) ]^a / q }^n , n -> 无穷

= ( 1^a / q ) ^ n

= ( 1 / q ) ^ n

因为 q > 1 ，

1 / q < 1

( 1 / q ) ^ n , n -> 无穷 = 0

这样就行。尴尬。

但这样做越看越觉得太儿戏了，总觉得好像有问题，唔，看出来了，比如当 n -> 无穷 , n = [ n^(1/n) ]^n = 1^n = 1， n = 1，这显然是错误的。典型的， e = (1 + 1/n)^n = (1 + 0)^n = 1^n = 1，这也是错误的。

但 n^a / q^n 这么做怎么看怎么对啊？也就是说， n^a / q^n 用这样的做法推导出 n^a / q^n , n -> 无穷 = 0 ，越看越对，我们仿佛对此很有信心，越反复推理验算越有信心。就觉得 n^a / q^n , n -> 无穷的极限肯定等于 0 。

这是怎么回事？要怎么来判定？

这里有一个极限的运算法则，嗯，我发明了一个极限的运算法则，叫作极限运算的最简原则。

等等，不对，这种情况好像只会发生在指数式极限。把 f ( n ) 变换为 g ( n ) ， f ( n ) 和 g ( n ) 等价，只要 n 不在指数上，在取极限时， f ( n ) 、g ( n ) 的项都遵循高阶低阶同阶无穷大无穷小的关系和规则，能正确计算得到正确结果。

于是？

发现一个意外情况：如果对 [ n^(1/n) ]^n 取对数，又如何？

[ n^(1/n) ]^n , n -> 无穷

= e ^ ln [ n^(1/n) ]^n

ln [ n^(1/n) ]^n , n -> 无穷

= n ln n^(1/n)

= n ln 1

= n * 0

n * 0 是无穷 * 0 ，是不定式，这就暴露了问题，避免了 n = [ n^(1/n) ]^n = 1^n = 1， n = 1 。

所以，看起来，对于指数式极限，只要通过取对数转换成四则运算，再来求极限，就是可靠的？反之，如果不把指数运算转换成四则运算，求极限就是不可靠的？这好像又可以归纳出一条极限运算法则，叫指数式极限运算的四则运算原则。

回到开头，取对数也可以，取对数， 7 楼 a ln n - n ln q ，要怎么算？比较一下 a ln n 和 n ln q，看谁更高阶，也就知道 a ln n - n ln q 等于什么。

怎么比较？让两式相除， ( a ln n ) / ( n ln q ) ，用洛必达法则洛洛看，看能不能洛出来。接下来，会发现什么？会遇到什么？又会有什么奇遇？

其实可以直接对 n^a / q^n 用洛必达法则，对 n^a 、q^n 求导，一直洛下去，又会有什么奇妙的际遇？早该这样了， n^a / q^n 本来就是个分式，不用洛必达法则，更待何时？还取什么对数？取对数完全是被误导了，先入为主，思维定势，一叶障目。呵呵。

等等，我忘了，洛必达法则是用于 0 / 0 型极限，也就是对 1/ n^a 、1/q^n 求导，但我刚刚上面想的是对 n^a 、q^n 求导，直接对无穷 / 无穷型极限的分子分母求导取比值。

乐观的想，如果极限是无穷大或无穷小，不是常量，总觉得还是可以用导数求极限，还是有希望，还是有机会。试试这样描述：当 x -> x₀ 时，如果 f ( x ) 是无穷大， g ( x ) 也是无穷大， f ′ ( x ) 和 g ′ ( x ) 至少有一个是无穷大或至少有一个是无穷小， lim f ′ ( x ) / g ′ ( x ) , x -> x₀ 是无穷大或无穷小，不是常量，那么， lim f ( x ) / g ( x ) , x -> x₀ = lim f ′ ( x ) / g ′ ( x ) , x -> x₀ 。

这是一个猜想，不一定对。这个猜想称为无穷•洛法则，又名洛•无穷法则。

如果 f ′ ( x ) 和 g ′ ( x ) 两个都是无穷大，且两个无穷大相除仍然不能求出极限，可以接着使用无穷•洛法则，就这么一直洛下去，只要洛到最后得到的极限是无穷大或无穷小，不是常量，那么，这个极限就是 lim f ( x ) / g ( x ) , x -> x₀ 。如果 f ′ ( x ) 和 g ′ ( x ) 两个都是无穷小，即 0 / 0 型极限，可以使用洛必达法则，也可以用其它求极限方法，比如夹逼定理，使用洛必达法则之后也可以用无穷•洛法则或其它求极限方法，只要最后得到的极限是无穷大或无穷小，不是常量，那么，这个极限也是 lim f ( x ) / g ( x ) , x -> x₀ 。总之无穷•洛法则、洛必达法则、其它求极限方法可以交替使用。这也是无穷•洛法则的一部分，当然，也是猜想。

x -> x₀ 中， x₀ 可以是常量，也可以是无穷。一开始怕读者理解的不清楚，想说明一下，又觉得不用，后来觉得还是说明一下。

对指数式极限而言， 1^n , n -> 无穷也是不定式，就像 0 * 无穷是不定式。